1. Um capacitor de placas paralelas, cujo dielétrico é o ar, tem una capacitância de 1,5 \mathrm{pF}. A distância entre as placas é multiplicada por três, e o espaço entro as placas é preenchido com cera, o que faz a capacitância aumentar para 4,5 \mathrm{pF}. Determine a constante dielétrica da cera.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • Capacitância inicial: C_1 = 1{,}5\\ \mathrm{pF}.
    • O dielétrico inicial é o ar (tomamos \varepsilon_r^{\text{ar}}\approx1).
    • A distância entre as placas é multiplicada por 3 (se era d, passa a ser 3d).
    • Depois de mudar a distância e encher com cera, a nova capacitância é C_2 = 4{,}5\\ \mathrm{pF}.
    • A área das placas A permanece a mesma (não foi alterada pelo enunciado).
  • Pedido:
    • Determinar a constante dielétrica da cera, que chamarei de \kappa (ou \varepsilon_r da cera).

Passo 2

Apresentar a fórmula básica e explicar cada termo.
A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por:
C=\frac{\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,A}{d}.
Explicando cada símbolo:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante conhecida, não precisamos do seu valor numérico aqui porque vai cancelar).
  • \varepsilon_r é a permissividade relativa (constante dielétrica) do material entre as placas — é o que queremos quando o material é a cera ( \varepsilon_r=\kappa).
  • A é a área das placas.
  • d é a distância entre as placas.
Interpretação física simples: quanto maior \varepsilon_r e A, maior C; quanto maior d, menor C. Por exemplo, se a distância triplica e \varepsilon_r permanecesse igual, a capacitância cairia para um terço.

Passo 3

Escrever a expressão para a capacitância inicial com ar entre as placas.
Como o ar tem \varepsilon_r\approx1, a capacitância inicial é
C_1=\frac{\varepsilon_0\cdot 1 \cdot A}{d}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}.

Passo 4

Escrever a expressão para a capacitância depois da mudança (distância 3d e dielétrico cera com \kappa) e relacionar com C_1.
A nova capacitância vale
C_2=\frac{\varepsilon_0\,\kappa\,A}{3d}.
Agora use a expressão de C_1 para eliminar \varepsilon_0 A/d. Como \dfrac{\varepsilon_0 A}{d}=C_1, temos
C_2=\frac{\kappa}{3}\,C_1.

Passo 5

Isolar \kappa e calcular numericamente.
Da relação anterior:
\kappa=3\,\frac{C_2}{C_1}.
Substituindo os valores dados ( C_1=1{,}5\\ \mathrm{pF}, C_2=4{,}5\\ \mathrm{pF}):
\frac{C_2}{C_1}=\frac{4{,}5}{1{,}5}=3,
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\kappa=3\times 3=9.

Passo 6

Breve checagem e comentário amistoso.
O cálculo é direto: a cera precisa de uma constante dielétrica \kappa=9 para, mesmo com a distância triplicada (o que reduziria a capacitância), o valor final ficar em 4{,}5\\ \mathrm{pF}. Está tudo consistente com a fórmula do capacitor de placas paralelas.

Resposta

\kappa = 9

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