- Em um circuito RC série,
e
. (a) Calcule a constante de tempo. (b) Determine a carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado. c) Qual é o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor de
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
-
Dados fornecidos:
- Fonte eletromotriz:
. - Resistência:
. - Capacitância:
.
- Fonte eletromotriz:
-
O enunciado pede:
(a) Calcular a constante de tempo do circuito RC.
(b) Determinar a carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado (valor final da carga).
(c) Determinar o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor.
Passo 2
Entendendo e calculando a constante de tempo
.
- O que é a constante de tempo
: em um circuito RC série, a constante de tempo mede quanto tempo o circuito leva para responder às variações e é dada por
Aqui
é a resistência em ohms e
é a capacitância em farads. A unidade de
é segundo.
- Aplicando aos valores do enunciado:
Agora multiplicamos os fatores numéricos e as potências de 10:
- Interpretação prática rápida: após um tempo
a resposta (por exemplo, a carga) já terá percorrido uma fração significativa do caminho até o valor final (mais precisamente, em a carga atinge cerca de do valor final).
Passo 3
Determinando a carga máxima
do capacitor quando completamente carregado.
- Conceito: no estado estacionário (t muito grande) o capacitor atinge uma tensão igual à da fonte, isto é
. A carga no capacitor relaciona-se com a tensão por
onde
é a carga em coulombs,
a capacitância e
a tensão no capacitor.
- Como em regime permanente
, a carga máxima é
- Substituindo os valores (usando
e ):
É conveniente expressar em microcoulombs:
Passo 4
Equação temporal da carga durante o carregamento e explicação (como obter
).
- Começando do circuito: aplicando a segunda lei de Kirchhoff no circuito série obtém-se
onde
é a carga no capacitor no instante
e
.
- Reescrevendo em termos de
:
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução para as condições iniciais
(capacitor inicialmente descarregado) é bem conhecida e resulta em:
onde
e
.
- Interpretação da fórmula:
- No instante
: (começa sem carga). - Quando
: e . - Em
: .
- No instante
Passo 5
Calcular o tempo necessário para que
.
- Usamos a equação temporal:
Queremos
tal que
. Isolando o exponencial:
- Tomando logaritmo natural e isolando
:
- Substituindo
e :
Logo
- Agora o logaritmo:
Usando aproximações conhecidas:
Portanto
- Finalmente, com
:
Arredondando com sentido prático para duas casas decimais:
Passo 6
Verificação rápida e interpretação final (motivação para a prova).
- Fazendo uma checagem de ordem de grandeza:
e queremos , isto é cerca de de . Sabendo que em atinge-se , faz sentido precisar de um pouco mais de que para chegar a . Nosso resultado (que é ) é coerente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)