1. Em um circuito RC série, \varepsilon=12,0 \mathrm{~V}, \mathrm{R}=1 \mathrm{M} \Omega e \mathrm{C} 1,80 \mu \mathrm{~F}. (a) Calcule a constante de tempo. (b) Determine a carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado. c) Qual é o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor de 16 \mu \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Fonte eletromotriz: \varepsilon=12{,}0\\ \mathrm{V}.
    • Resistência: R=1\\ \mathrm{M}\Omega = 1{,}0\times10^{6}\\ \Omega.
    • Capacitância: C=1{,}80\\ \mu\mathrm{F} = 1{,}80\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • O enunciado pede:
    (a) Calcular a constante de tempo do circuito RC.
    (b) Determinar a carga máxima que o capacitor pode receber ao ser carregado (valor final da carga).
    (c) Determinar o tempo necessário para que a carga do capacitor atinja o valor 16\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo e calculando a constante de tempo \tau.
  • O que é a constante de tempo \tau: em um circuito RC série, a constante de tempo \tau mede quanto tempo o circuito leva para responder às variações e é dada por
\tau = R\,C.
Aqui R é a resistência em ohms e C é a capacitância em farads. A unidade de \tau é segundo.
  • Aplicando aos valores do enunciado:
\tau = \left(1{,}0\times10^{6}\right)\left(1{,}80\times10^{-6}\right).
Agora multiplicamos os fatores numéricos e as potências de 10:
\tau = 1{,}0\times1{,}80\times10^{6-6} = 1{,}80\times10^{0} = 1{,}80\\ \mathrm{s}.
  • Interpretação prática rápida: após um tempo \tau a resposta (por exemplo, a carga) já terá percorrido uma fração significativa do caminho até o valor final (mais precisamente, em t=\tau a carga atinge cerca de 63{,}2\% do valor final).

Passo 3

Determinando a carga máxima Q_{\max} do capacitor quando completamente carregado.
  • Conceito: no estado estacionário (t muito grande) o capacitor atinge uma tensão igual à da fonte, isto é V_C=\varepsilon. A carga no capacitor relaciona-se com a tensão por
Q = C\,V_C,
onde Q é a carga em coulombs, C a capacitância e V_C a tensão no capacitor.
  • Como em regime permanente V_C=\varepsilon, a carga máxima é
Q_{\max} = C\,\varepsilon.
  • Substituindo os valores (usando C=1{,}80\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e \varepsilon=12{,}0\\ \mathrm{V}):
Q_{\max} = \left(1{,}80\times10^{-6}\right)\left(12{,}0\right) = 21{,}6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
É conveniente expressar em microcoulombs:
Q_{\max} = 21{,}6\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 4

Equação temporal da carga durante o carregamento e explicação (como obter Q(t)).
  • Começando do circuito: aplicando a segunda lei de Kirchhoff no circuito série obtém-se
\varepsilon - iR - \frac{q}{C} = 0,
onde q(t) é a carga no capacitor no instante t e i(t)=\dfrac{dq}{dt}.
  • Reescrevendo em termos de q:
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}\,q = \frac{\varepsilon}{R}.
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução para as condições iniciais q(0)=0 (capacitor inicialmente descarregado) é bem conhecida e resulta em:
q(t) = Q_{\max}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
onde Q_{\max}=C\varepsilon e \tau=RC.
  • Interpretação da fórmula:
    • No instante t=0: q(0)=Q_{\max}(1-1)=0 (começa sem carga).
    • Quando t\to\infty: e^{-t/\tau}\to0 e q(\infty)=Q_{\max}.
    • Em t=\tau: q(\tau)=Q_{\max}\left(1-e^{-1}\right)\approx0{,}632\,Q_{\max}.

Passo 5

Calcular o tempo necessário para que q(t)=16\\ \mu\mathrm{C}.
  • Usamos a equação temporal:
q(t) = Q_{\max}\left(1 - e^{-t/\tau}\right).
Queremos t tal que q(t)=16\\ \mu\mathrm{C}. Isolando o exponencial:
\frac{q(t)}{Q_{\max}} = 1 - e^{-t/\tau} \quad\Rightarrow\quad e^{-t/\tau} = 1 - \frac{q(t)}{Q_{\max}}.
  • Tomando logaritmo natural e isolando t:
-t/\tau = \ln\!\left(1 - \frac{q(t)}{Q_{\max}}\right) \quad\Rightarrow\quad t = -\tau\\ \ln\!\left(1 - \frac{q(t)}{Q_{\max}}\right).
  • Substituindo q(t)=16\\ \mu\mathrm{C} e Q_{\max}=21{,}6\\ \mu\mathrm{C}:
\frac{q(t)}{Q_{\max}} = \frac{16}{21{,}6} = \frac{160}{216} = \frac{20}{27}\approx0{,}740740\ldots
Logo
1 - \frac{q(t)}{Q_{\max}} = 1 - \frac{20}{27} = \frac{7}{27}\approx0{,}259259\ldots
  • Agora o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{7}{27}\right) = \ln 7 - \ln 27.
Usando aproximações conhecidas:
\ln 7 \approx 1{,}945910,\qquad \ln 3 \approx 1{,}098612\Rightarrow \ln 27 = 3\ln 3 \approx 3{,}295837.
Portanto
\ln\!\left(\frac{7}{27}\right) \approx 1{,}945910 - 3{,}295837 = -1{,}349927.
  • Finalmente, com \tau=1{,}80\\ \mathrm{s}:
t = -\left(1{,}80\right)\times\left(-1{,}349927\right) \approx 2{,}42987\\ \mathrm{s}.
Arredondando com sentido prático para duas casas decimais:
t \approx 2{,}43\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Verificação rápida e interpretação final (motivação para a prova).
  • Fazendo uma checagem de ordem de grandeza: Q_{\max}=21{,}6\\ \mu\mathrm{C} e queremos 16\\ \mu\mathrm{C}, isto é cerca de 74{,}1\% de Q_{\max}. Sabendo que em t=\tau atinge-se \approx63{,}2\%, faz sentido precisar de um pouco mais de que \tau para chegar a 74{,}1\%. Nosso resultado t\approx2{,}43\\ \mathrm{s} (que é \approx1{,}35\,\tau) é coerente.

Resposta

(a) \tau = 1{,}80\\ \mathrm{s}
(b) Q_{\max} = 21{,}6\\ \mu\mathrm{C}
(c) t \approx 2{,}43\\ \mathrm{s}

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