Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com uma diferença de potencial de 600 V . A área das placas é 40 \mathrm{~cm}^{2} \mathrm{e} a distância entre as placas é 1,0 \mathrm{~mm}. Determine (a) a capacitância, (b) o valor absoluto da carga em uma das placas, (c) a energia armazenada, (d) o campo elétrico na região entre as placas e (e) a densidade de energia na região entre as placas.

Passo 1

Primeiro vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados numéricos fornecidos.
O enunciado pede as grandezas (a) capacitância, (b) carga em uma placa (valor absoluto), (c) energia armazenada, (d) campo elétrico entre as placas e (e) densidade de energia entre as placas.
Dados fornecidos:
\text{diferença de potencial } V = 600\\ \mathrm{V}ç
\text{área das placas } A = 40\\ \mathrm{cm}^2á
\text{distância entre as placas } d = 1{,}0\\ \mathrm{mm}â
O dielétrico é o ar, portanto usaremos a permissividade do vácuo (aproximação para o ar):
\varepsilon_0 = 8{,}85\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}
Converto as unidades para o SI (métrico):
A = 40\\ \mathrm{cm}^2 = 40\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2
d = 1{,}0\\ \mathrm{mm} = 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}
A partir daqui vou calcular, passo a passo, (a) a capacitância C, (b) a carga |Q|, (c) a energia U, (d) o campo E e (e) a densidade de energia u.

Passo 2

Cálculo da capacitância C de um capacitor de placas paralelas.
Conceito e fórmula (lição rápida): para um capacitor de placas paralelas com área de placa A, separação d e material entre as placas com permissividade \varepsilon, a capacitância é
C=\frac{\varepsilon A}{d}.
Aqui o dielétrico é o ar, então \varepsilon\approx\varepsilon_0.
Explicando as variáveis:
  • C é a capacitância, em farads ( \mathrm{F}).
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, em \mathrm{F/m}.
  • A é a área de cada placa, em \mathrm{m}^2.
  • d é a separação entre as placas, em \mathrm{m}.
Agora substituo os números:
C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{8{,}85\times 10^{-12}\,\mathrm{F/m}\times 4{,}0\times 10^{-3}\,\mathrm{m}^2}{1{,}0\times 10^{-3}\,\mathrm{m}}.
Faço a razão A/d primeiro:
\frac{A}{d}=\frac{4{,}0\times 10^{-3}}{1{,}0\times 10^{-3}}=4{,}0.
Logo
C = 8{,}85\times 10^{-12}\times 4{,}0 = 3{,}54\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}.
É comum expressar em picofarad:
C = 3{,}54\times 10^{-11}\\ \mathrm{F} = 35{,}4\\ \mathrm{pF}.

Passo 3

Cálculo da carga absoluta |Q| em uma das placas.
Conceito e fórmula: a carga em uma placa de capacitor ligado a uma diferença de potencial V é
Q = C V.
Aqui eu quero o valor absoluto, então |Q|=|C V|=C V (pois C e V são positivos em módulo).
Substituo os valores:
|Q| = 3{,}54\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}\times 600\\ \mathrm{V}.
Faço a multiplicação:
|Q| = 3{,}54\times 600\times 10^{-11} = 2{,}124\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}.
Podemos escrever em unidades mais usuais:
|Q| = 2{,}12\times 10^{-8}\\ \mathrm{C} = 21{,}2\\ \mathrm{nC}.

Passo 4

Cálculo da energia armazenada U no capacitor.
Conceitos e fórmulas possíveis (explico para você saber as opções):
  • Uma fórmula direta é
U = \tfrac{1}{2} C V^2.
  • Alternativamente, usando Q, temos
U = \frac{Q^2}{2C} = \tfrac{1}{2} Q V,
todas equivalentes (basta usar Q=C V).
Vou usar U=\tfrac{1}{2}CV^2. Substituo:
U = \tfrac{1}{2}\times 3{,}54\times 10^{-11}\\ \mathrm{F}\times (600\\ \mathrm{V})^2.
Calculo 600^2 = 360000. Então
U = \tfrac{1}{2}\times 3{,}54\times 10^{-11}\times 3{,}6\times 10^{5}.
Multiplico 3{,}54\times 3{,}6 = 12{,}744. Ajustando potências,
3{,}54\times 10^{-11}\times 3{,}6\times10^{5}=12{,}744\times10^{-6}=1{,}2744\times10^{-5}.
Metade disso:
U = 6{,}372\times 10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
U = 6{,}37\times 10^{-6}\\ \mathrm{J} = 6{,}37\\ \mu\mathrm{J}.

Passo 5

Cálculo do campo elétrico \,E na região entre as placas.
Conceito e fórmula: num capacitor de placas paralelas, o campo elétrico entre as placas (assumindo campo uniforme, negligenciando bordas) tem magnitude
E = \frac{V}{d}.
Aqui E tem unidade \mathrm{V/m} (que é equivalente a \mathrm{N/C}).
Substituo os valores:
E = \frac{600\\ \mathrm{V}}{1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}} = 6{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
Então o campo é 6{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{V/m} dirigido de forma a apontar da placa positiva para a negativa.

Passo 6

Cálculo da densidade de energia u (energia por unidade de volume) na região entre as placas.
Conceito e fórmula: a densidade de energia elétrica no campo é
u = \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2.
Isso significa energia armazenada por metro cúbico de campo elétrico.
Substituo \varepsilon_0 e E:
u = \tfrac{1}{2}\times 8{,}85\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\times (6{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{V/m})^2.
Calculo E^2 = (6{,}0\times 10^{5})^2 = 3{,}6\times 10^{11}.
Multiplico:
\varepsilon_0 E^2 = 8{,}85\times 10^{-12}\times 3{,}6\times 10^{11} = 3{,}186\\ \mathrm{J/m^3}.
Agora metade:
u = \tfrac{1}{2}\times 3{,}186 = 1{,}593\\ \mathrm{J/m^3}.
Arredondando:
u = 1{,}59\\ \mathrm{J/m^3}.
Comentário útil: outra forma de obter u é dividir a energia total U pelo volume entre as placas V_{\text{vol}}=A d. Faço o teste rápido de consistência no próximo passo.

Passo 7

Verificação de consistência (conferindo resultados com um cálculo alternativo).
Volume entre as placas:
V_{\text{vol}} = A d = 4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2\times 1{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 4{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.
Multiplico a densidade de energia pelo volume:
u\times V_{\text{vol}} = 1{,}593\\ \mathrm{J/m^3}\times 4{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 6{,}372\times 10^{-6}\\ \mathrm{J},
que é exatamente a energia U calculada no Passo 4. Bom sinal: os resultados são consistentes.
Força final de incentivo: você chegou até aqui — ótimo! Essas fórmulas aparecem direto na prova: decorar C=\varepsilon A/d, Q=CV, U=\tfrac12 CV^2, E=V/d e u=\tfrac12\varepsilon E^2 já te dá quase tudo para resolver questões desse tipo rapidamente.

Resposta

(a) C = 3{,}54\times 10^{-11}\\ \mathrm{F} = 35{,}4\\ \mathrm{pF}
(b) |Q| = 2{,}12\times 10^{-8}\\ \mathrm{C} = 21{,}2\\ \mathrm{nC}
(c) U = 6{,}37\times 10^{-6}\\ \mathrm{J} = 6{,}37\\ \mu\mathrm{J}
(d) E = 6{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{V/m}
(e) u = 1{,}59\\ \mathrm{J/m^3}

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