Um capacitor de placas paralelas possui as placas com área de 30 \times 30 \mathrm{~cm}^{2} \mathrm{e} a distância entre as placas é de 0,5 \mathrm{~mm}. Determinar a constante dielétrica mínima do material dielétrico de forma que a energia armazenada seja superior a 0,4 \mathrm{~mJ} quando ele estiver alimentado \operatorname{com}(200+1) \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a constante dielétrica mínima do material (ou seja, o menor valor de \epsilon_r) de forma que a energia armazenada no capacitor seja superior a 0,4\\ \mathrm{mJ} quando ele é alimentado com (200+1)\\ \mathrm{V}.
Informações dadas:
A = 30\times30\\ \mathrm{cm}^2,\quad d = 0,5\\ \mathrm{mm},\quad U_{\text{mín}} = 0,4\\ \mathrm{mJ},\quad V = (200+1)\\ \mathrm{V}.í
Interpreto o valor (200+1)\\ \mathrm{V} como V = 201\\ \mathrm{V}. Essas são todas as informações que usaremos.

Passo 2

Fórmulas relevantes (vou explicar cada uma):
  1. Energia armazenada em um capacitor: U=\tfrac{1}{2} C V^2.
  • Aqui U é a energia (em joules), C é a capacitância (em farads) e V é a tensão aplicada (em volts). Essa fórmula vem de integrar o trabalho necessário para carregar o capacitor: dW=V\,dq=(q/C)\,dq, integrando de 0 até Q U=\tfrac{1}{2}QV=\tfrac{1}{2}CV^2.
  1. Capacitância de um capacitor de placas paralelas com dielétrico: C=\epsilon_0\,\epsilon_r\,\frac{A}{d}.
  • Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo, \epsilon_r é a constante dielétrica relativa (o que queremos achar), A é a área das placas e d a distância entre elas. O valor numérico útil é \epsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Unindo as duas fórmulas teremos U em função de \epsilon_r.

Passo 3

Substituindo C em U=\tfrac{1}{2}CV^2 obtemos:
U=\tfrac{1}{2}\,\epsilon_0\,\epsilon_r\,\frac{A}{d}\,V^2.
Queremos \epsilon_r mínima tal que U\ge U_{\text{mín}}í. Isolando \epsilon_r:
\epsilon_r=\frac{2 U d}{\epsilon_0 A V^2}.
Esta é a expressão que vamos usar. Aqui cada símbolo já foi explicado: U é a energia desejada, d a separação, \epsilon_0 constante do vácuo, A área, V tensão.

Passo 4

Convertemos todas as unidades para o SI (metros, joules, volts):
\begin{aligned} A &= 30\\ \mathrm{cm}\times30\\ \mathrm{cm}=(0,30\\ \mathrm{m})\times(0,30\\ \mathrm{m})=0,09\\ \mathrm{m}^2,\\[4pt] d &= 0,5\\ \mathrm{mm}=0,5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=5\times10^{-4}\\ \mathrm{m},\\[4pt] U &= 0,4\\ \mathrm{mJ}=0,4\times10^{-3}\\ \mathrm{J}=4\times10^{-4}\\ \mathrm{J},\\[4pt] V &= 201\\ \mathrm{V},\\[4pt] \epsilon_0 &= 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. \end{aligned}]

Passo 5

Calculamos passo a passo a expressão \epsilon_r=\dfrac{2 U d}{\epsilon_0 A V^2}.
  1. Numerador:
2 U d = 2\cdot(4\times10^{-4})\cdot(5\times10^{-4}) = 4\times10^{-7}.
  1. Denominador: primeiro V^2
V^2 = 201^2 = 40401.
Agora
\epsilon_0 A V^2 = (8{,}854\times10^{-12})\cdot(0,09)\cdot(40401).
Calculando em duas etapas:
(8{,}854\times10^{-12})\cdot(0,09)=7{,}9686\times10^{-13},
7{,}9686\times10^{-13}\cdot40401 \approx 3{,}219394086\times10^{-8}.
  1. Dividindo:
\epsilon_r = \frac{4\times10^{-7}}{3{,}219394086\times10^{-8}} \approx 12{,}43.

Passo 6

Interpretação final e observação prática: o valor de \epsilon_r é adimensional. Obtivemos \epsilon_r\approx12{,}4. Isso significa que o material dielétrico deve ter constante dielétrica relativa pelo menos cerca de 12{,}4 para que a energia armazenada seja maior que 0,4\\ \mathrm{mJ} com 201\\ \mathrm{V}. Em termos práticos, certos cerâmicos têm \epsilon_r nessa ordem ou maior; materiais comuns como ar têm \epsilon_r\approx1 (insuficiente) e alguns plásticos e vidros têm valores variados (muitos abaixo de 12, alguns acima).
Você chegou até aqui — boa! Na prova, faça exatamente essa sequência: converter unidades, montar a fórmula, isolar \epsilon_r e calcular com calma.

Resposta

\epsilon_r \approx 12{,}4

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