A região
consiste de um condutor perfeito, enquanto que a região
é um meio dielétrico (
). Se existe uma carga superficial de
no condutor, determine
e
em:
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
-
Dados fornecidos:
A região é um condutor perfeito.
A região é um dielétrico com .
Existe uma densidade de carga superficial livre sobre o condutor . (Vou usar a notação para essa carga.)
Pontos pedidos: e . -
O que é pedido:
Determinar e no ponto .
Determinar e no ponto .
Passo 2
Propriedade fundamental do condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico dentro de um condutor perfeito é zero. Explicação didática curta: cargas livres no condutor movem‑se até que não haja campo elétrico interno; se houvesse campo, as cargas continuariam a se mover, então em equilíbrio
. Como
no vácuo/condutor (sem polarização adicional), segue que
.
Aplicação imediata ao ponto
: tem coordenada
, portanto está dentro do condutor. Logo
Passo 3
Condição de contorno para a componente normal de
numa interface com carga superficial livre
:
onde
é o versor normal que aponta da região 1 para a região 2. Aqui escolhemos a região 1 como o condutor (
) e a região 2 como o dielétrico (
). A interface é o plano
e o versor normal do condutor para o dielétrico é
(apontando no sentido positivo de
).
Como dentro do condutor
, a condição de contorno dá diretamente
Se a distribuição de carga é uniforme no plano
e não há outras assimetrias, a única componente de
imediatamente acima da superfície é normal, ou seja
.
Passo 4
Relação material entre
e
no dielétrico:
Aqui
, então
.
Já obtivemos
na região
(imediatamente acima da superfície) como
. Logo
Passo 5
Converter unidades e fazer conta numérica passo a passo.
- A densidade superficial dada:
. - Constante do vácuo:
.
Calcular
no dielétrico:
Calcular
no dielétrico:
Fazendo a divisão numérica:
Portanto
válidos em toda a região dielétrica
imediatamente acima da superfície plana (e, por simetria do problema, constantes para
).
Passo 6
Aplicação final aos pontos pedidos:
-
está no condutor ( ): já respondido no Passo 2. -
está no dielétrico ( ): usa-se os valores do Passo 5, direção (positiva).