A região \mathrm{y} \leq 0 consiste de um condutor perfeito, enquanto que a região \mathrm{y} \geq 0 é um meio dielétrico ( \varepsilon_{\mathrm{r} 1}=2 ). Se existe uma carga superficial de 2 \mathrm{pC} / \mathrm{m}^{2} no condutor, determine \mathbf{E} e \mathbf{D} em: \mathrm{A}(3,-2,1) e \mathrm{B}(-4,1,5).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados fornecidos:
    A região \,y\le 0 é um condutor perfeito.
    A região \,y\ge 0 é um dielétrico com \varepsilon_{r1}=2.
    Existe uma densidade de carga superficial livre sobre o condutor \sigma=2\\ \mathrm{pC/m^{2}}. (Vou usar a notação \sigma para essa carga.)
    Pontos pedidos: A(3,-2,1) e B(-4,1,5).
  • O que é pedido:
    Determinar \mathbf{E} e \mathbf{D} no ponto A.
    Determinar \mathbf{E} e \mathbf{D} no ponto B.

Passo 2

Propriedade fundamental do condutor em equilíbrio eletrostático: o campo elétrico dentro de um condutor perfeito é zero. Explicação didática curta: cargas livres no condutor movem‑se até que não haja campo elétrico interno; se houvesse campo, as cargas continuariam a se mover, então em equilíbrio \mathbf{E}_{\text{dentro}}=\mathbf{0}. Como \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E} no vácuo/condutor (sem polarização adicional), segue que \mathbf{D}_{\text{dentro}}=\mathbf{0}.
Aplicação imediata ao ponto A(3,-2,1): tem coordenada y=-2\le 0, portanto está dentro do condutor. Logo
\mathbf{E}(A)=\mathbf{0},\qquad \mathbf{D}(A)=\mathbf{0}.

Passo 3

Condição de contorno para a componente normal de \mathbf{D} numa interface com carga superficial livre \sigma_{f}:
\hat{n}\cdot\bigl(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1\bigr)=\sigma_{f},
onde \hat{n} é o versor normal que aponta da região 1 para a região 2. Aqui escolhemos a região 1 como o condutor ( y\le 0) e a região 2 como o dielétrico ( y\ge 0). A interface é o plano y=0 e o versor normal do condutor para o dielétrico é \hat{n}=\hat{\mathbf{y}} (apontando no sentido positivo de y).
Como dentro do condutor \mathbf{D}_1=\mathbf{0}, a condição de contorno dá diretamente
\hat{\mathbf{y}}\cdot\mathbf{D}_2=\sigma.
Se a distribuição de carga é uniforme no plano y=0 e não há outras assimetrias, a única componente de \mathbf{D} imediatamente acima da superfície é normal, ou seja \mathbf{D}_2=\sigma\,\hat{\mathbf{y}}.

Passo 4

Relação material entre \mathbf{D} e \mathbf{E} no dielétrico:
\mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}=\varepsilon_0\varepsilon_{r1}\,\mathbf{E}.
Aqui \varepsilon_{r1}=2, então \varepsilon=\varepsilon_0\cdot 2.
Já obtivemos \mathbf{D} na região y>0 (imediatamente acima da superfície) como \mathbf{D}=\sigma\,\hat{\mathbf{y}}. Logo
\mathbf{E}=\frac{\mathbf{D}}{\varepsilon}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}\,\hat{\mathbf{y}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{y}}.

Passo 5

Converter unidades e fazer conta numérica passo a passo.
  • A densidade superficial dada: \sigma=2\\ \mathrm{pC/m^{2}}=2\times 10^{-12}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
  • Constante do vácuo: \varepsilon_0\approx 8{,}854\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Calcular \mathbf{D} no dielétrico:
\mathbf{D}=\sigma\,\hat{\mathbf{y}}=2\times 10^{-12}\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Calcular \mathbf{E} no dielétrico:
\mathbf{E}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{y}} =\frac{2\times 10^{-12}}{2\cdot 8{,}854\times 10^{-12}}\,\hat{\mathbf{y}} =\frac{1\times10^{-12}}{8{,}854\times 10^{-12}}\,\hat{\mathbf{y}}.
Fazendo a divisão numérica:
\frac{1\times10^{-12}}{8{,}854\times 10^{-12}}\approx 0{,}11294\\ \mathrm{V/m}\approx 0{,}113\\ \mathrm{V/m}.
Portanto
\mathbf{E}=0{,}113\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{V/m},\qquad \mathbf{D}=2\times 10^{-12}\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{C/m^{2}},
válidos em toda a região dielétrica y>0 imediatamente acima da superfície plana (e, por simetria do problema, constantes para y>0).

Passo 6

Aplicação final aos pontos pedidos:
  • A(3,-2,1) está no condutor ( y=-2\le 0): já respondido no Passo 2.
  • B(-4,1,5) está no dielétrico ( y=1\ge 0): usa-se os valores do Passo 5, direção \hat{\mathbf{y}} (positiva).

Resposta

\mathbf{E}(3,-2,1)=\mathbf{0}
\mathbf{D}(3,-2,1)=\mathbf{0}
\mathbf{E}(-4,1,5)=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{y}}=\dfrac{1\times10^{-12}}{\varepsilon_0}\,\hat{\mathbf{y}}\approx 0{,}113\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{V/m}
\mathbf{D}(-4,1,5)=\sigma\,\hat{\mathbf{y}}=2\times10^{-12}\,\hat{\mathbf{y}}\\ \mathrm{C/m^{2}}

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