Um capacitor de placas paralelas separadas por 0,8 \mathrm{~mm} e com um dielétrico \operatorname{com} \varepsilon_{\mathrm{r}}=7,5, tem uma tensão aplicada de 30 Volts na freqüência de 12 GHz . Calcule o valor da densidade de corrente de deslocamento. (valores de pico)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a densidade de corrente de deslocamento (valores de pico):
  • separação entre placas: d=0{,}8\\ \mathrm{mm};
  • constante dielétrica relativa: \varepsilon_{\mathrm{r}}=7{,}5;
  • tensão aplicada (valor de pico): V_{\mathrm{pk}}=30\\ \mathrm{V};
  • frequência: f=12\\ \mathrm{GHz}.
    A pergunta: calcular o valor da densidade de corrente de deslocamento (valor de pico), isto é o pico de J_d em \mathrm{A/m^2}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A densidade de corrente de deslocamento é definida por
J_d(t)=\frac{\partial D(t)}{\partial t},
onde D é o deslocamento elétrico (vetor) e representa a densidade de fluxo elétrico no dielétrico. Para materiais lineares isotrópicos vale
D(t)=\varepsilon E(t),
onde \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r} é a permissividade do meio, \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo e \varepsilon_{\mathrm r} é a constante dielétrica relativa.
  • Se a tensão aplicada é senoidal (frequência f), o campo elétrico também é senoidal: E(t)=E_{\mathrm{pk}}\cos(\omega t), com \omega=2\pi f. Então
D(t)=\varepsilon E_{\mathrm{pk}}\cos(\omega t).
Diferenciando no tempo obtemos o pico da densidade de corrente de deslocamento:
J_{d,\mathrm{pk}}=\omega\,\varepsilon\,E_{\mathrm{pk}}.
  • Como as placas são paralelas e o campo é uniforme, o campo elétrico de pico é dado por
E_{\mathrm{pk}}=\frac{V_{\mathrm{pk}}}{d}.
Portanto a fórmula prática que usaremos é
J_{d,\mathrm{pk}}=\omega\,\varepsilon_0\,\varepsilon_{\mathrm r}\,\frac{V_{\mathrm{pk}}}{d}.

Passo 3

Vamos listar constantes e converter unidades (tudo em SI):
  • d=0{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=8{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • \varepsilon_{\mathrm r}=7{,}5.
  • V_{\mathrm{pk}}=30\\ \mathrm{V}.
  • f=12\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}. Assim \omega=2\pi f=2\pi\cdot12\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular o campo elétrico de pico:
E_{\mathrm{pk}}=\frac{V_{\mathrm{pk}}}{d}=\frac{30}{8{,}0\times10^{-4}}\\ \mathrm{V/m}.
Fazendo a conta:
E_{\mathrm{pk}}=\frac{30}{0{,}0008}=37500\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Calcular a permissividade do dielétrico:
\varepsilon=\varepsilon_0\,\varepsilon_{\mathrm r}=8{,}854187817\times10^{-12}\times7{,}5.
Fazendo a multiplicação:
\varepsilon\approx6{,}640640863\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 6

Calcular \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot12\times10^{9}\approx7{,}539822369\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Agora calcular o pico da densidade de corrente de deslocamento por
J_{d,\mathrm{pk}}=\omega\,\varepsilon\,E_{\mathrm{pk}}.
Substituindo os valores numéricos:
J_{d,\mathrm{pk}}\approx(7{,}539822369\times10^{10})\times(6{,}640640863\times10^{-11})\times(3{,}75\times10^{4}).
Fazendo as contas passo a passo (mantendo algumas cifras guardadas):
  • \varepsilon E_{\mathrm{pk}}\approx6{,}640640863\times10^{-11}\times3{,}75\times10^{4}\approx2{,}490240324\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^2}.
  • Multiplicando por \omega:
J_{d,\mathrm{pk}}\approx7{,}539822369\times10^{10}\times2{,}490240324\times10^{-6}\approx1{,}88\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^2}.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem de unidade:
  • Unidade: \mathrm{rad/s}\times\mathrm{F/m}\times\mathrm{V/m}=\mathrm{A/m^2}, portanto a unidade está coerente.
  • Resultado em notação mais legível: J_{d,\mathrm{pk}}\approx1{,}88\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
  • É um valor de pico; o valor instantâneo varia senoidalmente no tempo com a mesma frequência.

Resposta

1{,}88\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}

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