A terra seca tem permissividade relativa \varepsilon_{r} \approx 4 e uma condutividade de \sigma \approx 10^{-5} \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Determine a frequência acima da qual a corrente de deslocamento é maior que a corrente de condução.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • permissividade relativa da terra seca: \varepsilon_{r}\approx4;
  • condutividade elétrica: \sigma\approx10^{-5}\\ \mathrm{S/m}.
    A pergunta é: determinar a frequência acima da qual a corrente de deslocamento é maior que a corrente de condução.

Passo 2

Vamos definir claramente as duas densidades de corrente envolvidas e o que significam:
  • corrente de condução (densidade de corrente ôhmica): a lei de Ohm local diz que a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico. Escrevemos
j_{\rm cond}=\sigma E,
onde j_{\rm cond} é a magnitude da corrente de condução (A/m ^2), \sigma é a condutividade (S/m) e E é a magnitude do campo elétrico (V/m).
  • corrente de deslocamento (densidade): por definição eletrostática dinâmica,
j_{\rm disp}=\frac{\partial D}{\partial t},
onde D é o deslocamento elétrico. Para um meio linear e isotrópico vale D=\varepsilon E, com \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r a permissividade absoluta do meio.

Passo 3

Para campos oscilantes senoidais de frequência angular \omega (usar representação fasorial), E(t)=\Re\{E_0 e^{j\omega t}\}. Então, ao derivar no tempo,
\frac{\partial D}{\partial t}=\varepsilon\frac{\partial E}{\partial t}\quad\Rightarrow\quad j_{\rm disp}=\omega\varepsilon E
em termos de magnitudes (pois |j\omega E_0|=\omega|E_0|). Portanto as magnitudes são
j_{\rm cond}=\sigma E,\qquad j_{\rm disp}=\omega\varepsilon E.

Passo 4

Queremos a frequência acima da qual j_{\rm disp}>j_{\rm cond}. Comparando as expressões e cancelando E (assumindo E\neq0),
\omega\varepsilon>\sigma \quad\Rightarrow\quad \omega>\frac{\sigma}{\varepsilon}.
Convertendo para frequência em hertz \,f=\dfrac{\omega}{2\pi}\,,
f>\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. A permissividade do vácuo é \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, logo
\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r \approx (8{,}854187817\times10^{-12})\times4 =3{,}541675127\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Calculando o limite em frequência:
f_c=\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon} =\frac{10^{-5}}{2\pi\times 3{,}541675127\times10^{-11}}.
Vamos calcular aproximadamente: 2\pi\varepsilon\approx6{,}2831853\times3{,}541675127\times10^{-11}\approx2{,}22525\times10^{-10}. Assim
f_c\approx\frac{10^{-5}}{2{,}22525\times10^{-10}}\approx4{,}494\times10^{4}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Interpretação física curta e dica de prova: acima de aproximadamente 4{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{Hz} (≈45 kHz) o termo de deslocamento (proporcional a \omega\varepsilon) domina sobre a corrente ôhmica (proporcional a \sigma). Em muitos problemas isso também é visto através do “ângulo de perda” ou “loss tangent” \tan\delta=\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}: quando \tan\delta<1 (ou seja \omega\varepsilon>\sigma) a resposta é dominada por deslocamento.

Resposta

f\approx4{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{Hz} (aproximadamente 45\\ \mathrm{kHz}).

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