1. Um capacitor de placas paralelas no vácuo possui uma área de 0,0225 \mathrm{~m}^{2} e placas separadas por exatos 1,0 \mathrm{~mm}. Sabendo que a rigidez dielétrica do ar é de aproximadamente 30 \mathrm{kV} / \mathrm{cm}, determine a diferença de potencial máxima admissível e a maior quantidade de energia eletrostática que este dispositivo consegue armazenar antes que ocorra a ruptura do dielétrico.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Área das placas: A=0{,}0225\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Separação entre placas: d=1{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Rigidez dielétrica do ar (valor máximo do campo elétrico antes da ruptura): 30\\ \mathrm{kV/cm}.
O que o enunciado pede:
  1. Determinar a diferença de potencial máxima admissível entre as placas (ou seja, a tensão máxima V_{\max} antes de ocorrer a ruptura do dielétrico).
  2. Determinar a maior quantidade de energia eletrostática U_{\max} que o capacitor consegue armazenar sem romper o ar entre as placas.
Observação importante para começar: vou precisar converter unidades (mm → m e kV/cm → V/m) antes de calcular. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Converter a rigidez dielétrica dada para unidades SI ( \mathrm{V/m}) e obter o campo elétrico máximo admissível.
A rigidez foi dada como 30\\ \mathrm{kV/cm}. Converter passo a passo:
  • 1\\ \mathrm{kV/cm}=10^{3}\\ \mathrm{V}/(10^{-2}\\ \mathrm{m})=10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
    Portanto
30\\ \mathrm{kV/cm}=30\times10^{5}\\ \mathrm{V/m}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
Esse é o valor máximo do campo elétrico no dielétrico que o ar suporta sem ruptura. Vou chamá-lo de E_{\max}:
E_{\max}=3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 3

Converter a distância entre placas para metros e usar a relação entre campo elétrico uniforme e diferença de potencial para obter V_{\max}.
Converter d:
d=1{,}0\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Num capacitor de placas paralelas com campo aproximadamente uniforme entre as placas, a relação entre a diferença de potencial V, o campo elétrico E e a separação d é
V=E\cdot d.
Substituindo o valor máximo do campo:
V_{\max}=E_{\max}\,d=(3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m})\cdot(1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}).
Calcular:
V_{\max}=3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}=3{,}0\\ \mathrm{kV}.

Passo 4

Calcular a capacitância do capacitor de placas paralelas no vácuo (ou ar, que aproximamos por vácuo para a capacitância) usando a fórmula e explicar cada termo.
Fórmula da capacitância de placas paralelas:
C=\varepsilon_{0}\,\frac{A}{d},
onde:
  • C é a capacitância (em farads, \mathrm{F}),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante elétrica), \varepsilon_{0}\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
  • A é a área de cada placa (em \mathrm{m^{2}}),
  • d é a separação entre as placas (em \mathrm{m}).
Agora substituindo os valores:
C=(8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m})\cdot\frac{0{,}0225\\ \mathrm{m^{2}}}{1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}.
Calcular passo a passo:
\frac{A}{d}=\frac{0{,}0225}{1{,}0\times10^{-3}}=22{,}5\\ \mathrm{m},
C=8{,}85\times10^{-12}\times22{,}5=1{,}99125\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
Arredondando de forma sensata (mantendo três algarismos significativos):
C\approx1{,}99\times10^{-10}\\ \mathrm{F}=199\\ \mathrm{pF}.

Passo 5

Calcular a energia máxima armazenável U_{\max} usando a fórmula da energia de um capacitor carregado.
Fórmula da energia eletrostática armazenada num capacitor:
U=\tfrac{1}{2}C V^{2},
onde U está em joules se C estiver em farads e V em volts.
Substituir C\approx1{,}99125\times10^{-10}\\ \mathrm{F} (valor não arredondado para manter precisão intermediária) e V_{\max}=3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}:
U_{\max}=\tfrac{1}{2}\cdot(1{,}99125\times10^{-10})\cdot(3{,}0\times10^{3})^{2}.
Calcular V^{2}:
(3{,}0\times10^{3})^{2}=9{,}0\times10^{6}.
Continuando:
U_{\max}=\tfrac{1}{2}\cdot1{,}99125\times10^{-10}\cdot9{,}0\times10^{6} =\tfrac{1}{2}\cdot1{,}99125\cdot9{,}\times10^{-10+6}.
1{,}99125\times9{,}0=17{,}92125
U_{\max}=\tfrac{1}{2}\times17{,}92125\times10^{-4}=8{,}960625\times10^{-4}\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma prática:
U_{\max}\approx8{,}96\times10^{-4}\\ \mathrm{J}=0{,}896\\ \mathrm{mJ}.

Passo 6

Resumo dos resultados com interpretação curta e verificação das unidades:
  • A tensão máxima V_{\max} calculada tem unidade \mathrm{V} e resultou em 3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}, ou 3{,}0\\ \mathrm{kV}. Isso faz sentido: com um espaço de 1{,}0\\ \mathrm{mm} e rigidez dielétrica de cerca de 3{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}, a tensão máxima fica na faixa de milhares de volts.
  • A capacitância foi da ordem de 10^{-10}\\ \mathrm{F}, típica de placas pequenas e separadas por pouco. A energia U_{\max} ficou abaixo de 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{J}, ou seja, menos de 1\\ \mathrm{mJ}, o que também é razoável para capacitores de baixa capacitância mesmo com algumas kilovolts.

Resposta

V_{\max}=3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}=3{,}0\\ \mathrm{kV}
U_{\max}\approx8{,}96\times10^{-4}\\ \mathrm{J}=0{,}896\\ \mathrm{mJ}

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