1. Mostre analiticamente, valendo-se da expansão em série de Taylor para o logaritmo neperiano, que no limite em que a distância entre as placas d=b-a de um capacitor cilíndrico for muito menor que o seu raio ( d \ll a ), a sua expressão de capacitância se reduz perfeitamente à fórmula de um capacitor de placas planas e paralelas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar analiticamente que, quando a distância entre as placas do capacitor cilíndrico \,d=b-a é muito menor que o seu raio ( d\ll a), a expressão da capacitância do capacitor cilíndrico se reduz à fórmula do capacitor de placas planas e paralelas. Informações dadas e objetivo claro:
  • Temos um capacitor coaxial cilíndrico de comprimento \,L, raio interno \,a e raio externo \,b.
  • A separação entre as “placas” é \,d=b-a e estamos no regime \,d\ll a.
  • A expressão conhecida da capacitância do capacitor cilíndrico é
C=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)},
onde \varepsilon é a permissividade do meio entre as placas ( \varepsilon=\varepsilon_0 no vácuo).
  • Queremos mostrar que, no limite \,d\ll a, essa expressão passa para a forma
C\approx\frac{\varepsilon A}{d},
onde \,A é a área efetiva das placas paralelas. Irei usar a expansão em série de Taylor para o logaritmo neperiano para fazer essa redução.

Passo 2

Apresentando a expansão em série (Taylor) do logaritmo neperiano ao redor de x=0. Para |x|<1 vale a série convergente
\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots.
Explicando: isso significa que, quando x é pequeno, \ln(1+x) pode ser aproximado por x mais termos de ordem superior em x. Aqui cada termo tem significado: x é a contribuição principal e x^{2}/2 é a correção de segunda ordem, etc. O erro ao truncar após o primeiro termo é da ordem de x^{2}.

Passo 3

Relacionando isso ao nosso problema. Escrevemos
\frac{b}{a}=1+\frac{d}{a},
logo
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln\!\left(1+\frac{d}{a}\right).
Como estamos no regime \,d\ll a, a razão \,x:=\dfrac{d}{a} é pequena ( |x|\ll1), então podemos aplicar a série do passo anterior com x=\dfrac{d}{a}. Mantendo os primeiros termos:
\ln\!\left(1+\frac{d}{a}\right)=\frac{d}{a}-\frac{1}{2}\left(\frac{d}{a}\right)^{2}+\mathcal{O}\!\left(\left(\frac{d}{a}\right)^{3}\right).
Para d\ll a os termos de ordem \left(\dfrac{d}{a}\right)^{2} e superiores são desprezíveis, portanto, na aproximação de primeira ordem,
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)\approx\frac{d}{a}.
Comentário didático: isso diz que, para pequenos espaçamentos relativos, o logaritmo da razão de raios é aproximadamente a razão das diferenças de raios; o erro relativo é da ordem de \dfrac{d}{a}.

Passo 4

Substituindo essa aproximação na fórmula da capacitância cilíndrica. Começamos de
C=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Usando \ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)\approx\dfrac{d}{a} obtemos
C\approx\frac{2\pi\varepsilon L}{\dfrac{d}{a}}=\frac{2\pi\varepsilon L a}{d}.
Agora observe que a área lateral do cilindro de raio a e comprimento L é
A_{\text{lateral}}=2\pi a L.
Portanto a expressão anterior pode ser escrita como
C\approx\frac{\varepsilon\, (2\pi a L)}{d}=\frac{\varepsilon A_{\text{lateral}}}{d}.

Passo 5

Interpretação física e ligação com o capacitor de placas planas: quando d\ll a a curvatura das superfícies é desprezível na região entre as placas, de modo que cada pequena porção de superfície se comporta como uma placa plana paralela à outra. Assim a área efetiva que participa do armazenamento de carga é justamente a área lateral \,A_{\text{lateral}}=2\pi a L. A fórmula do capacitor de placas planas e paralelas é
C_{\text{placas}}=\frac{\varepsilon A}{d}.
Comparando com o resultado obtido acima, vemos que a capacitância cilíndrica, no limite d\ll a, reduz-se exatamente à forma de um capacitor de placas planas com área A=2\pi a L. Nota sobre precisão: a aproximação perde precisão na ordem relativa \mathcal{O}\!\left(\dfrac{d}{a}\right) devido aos termos truncados da série do logaritmo; mas para d/a muito pequeno essa correção é insignificante.

Resposta

C\approx\frac{\varepsilon\,(2\pi a L)}{d}=\frac{\varepsilon A}{d},\qquad A=2\pi a L

Exercícios relacionados