- Mostre analiticamente, valendo-se da expansão em série de Taylor para o logaritmo neperiano, que no limite em que a distância entre as placas
de um capacitor cilíndrico for muito menor que o seu raio (
), a sua expressão de capacitância se reduz perfeitamente à fórmula de um capacitor de placas planas e paralelas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar analiticamente que, quando a distância entre as placas do capacitor cilíndrico
é muito menor que o seu raio (
), a expressão da capacitância do capacitor cilíndrico se reduz à fórmula do capacitor de placas planas e paralelas. Informações dadas e objetivo claro:
- Temos um capacitor coaxial cilíndrico de comprimento
, raio interno e raio externo . - A separação entre as “placas” é
e estamos no regime . - A expressão conhecida da capacitância do capacitor cilíndrico é
onde
é a permissividade do meio entre as placas (
no vácuo).
- Queremos mostrar que, no limite
, essa expressão passa para a forma
onde
é a área efetiva das placas paralelas. Irei usar a expansão em série de Taylor para o logaritmo neperiano para fazer essa redução.
Passo 2
Apresentando a expansão em série (Taylor) do logaritmo neperiano ao redor de
. Para
vale a série convergente
Explicando: isso significa que, quando
é pequeno,
pode ser aproximado por
mais termos de ordem superior em
. Aqui cada termo tem significado:
é a contribuição principal e
é a correção de segunda ordem, etc. O erro ao truncar após o primeiro termo é da ordem de
.
Passo 3
Relacionando isso ao nosso problema. Escrevemos
logo
Como estamos no regime
, a razão
é pequena (
), então podemos aplicar a série do passo anterior com
. Mantendo os primeiros termos:
Para
os termos de ordem
e superiores são desprezíveis, portanto, na aproximação de primeira ordem,
Comentário didático: isso diz que, para pequenos espaçamentos relativos, o logaritmo da razão de raios é aproximadamente a razão das diferenças de raios; o erro relativo é da ordem de
.
Passo 4
Substituindo essa aproximação na fórmula da capacitância cilíndrica. Começamos de
Usando
obtemos
Agora observe que a área lateral do cilindro de raio
e comprimento
é
Portanto a expressão anterior pode ser escrita como
Passo 5
Interpretação física e ligação com o capacitor de placas planas: quando
a curvatura das superfícies é desprezível na região entre as placas, de modo que cada pequena porção de superfície se comporta como uma placa plana paralela à outra. Assim a área efetiva que participa do armazenamento de carga é justamente a área lateral
. A fórmula do capacitor de placas planas e paralelas é
Comparando com o resultado obtido acima, vemos que a capacitância cilíndrica, no limite
, reduz-se exatamente à forma de um capacitor de placas planas com área
. Nota sobre precisão: a aproximação perde precisão na ordem relativa
devido aos termos truncados da série do logaritmo; mas para
muito pequeno essa correção é insignificante.