Um capacitor puro de C=35 \mu F está em paralelo com outro elemento simples de circuito. Se a tensão aplicada e a corrente resultante forem, respectivamente, v=150 \operatorname{sen} 3000 t Volts \quad e \quad i_{T}=16,5 \operatorname{sen}\left(3000 t+72,4^{\circ}\right) Amperes, achar o elemento desconhecido.

Passo 1

O enunciado fornece os sinais horários (tensão e corrente total) e pede que se determine o elemento desconhecido que está em paralelo com o capacitor. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Capacitor puro: C=35\\ \mu\text{F}.
    • Tensão aplicada: v(t)=150\operatorname{sen}(3000t) Volts.
    • Corrente total: i_T(t)=16{,}5\operatorname{sen}\bigl(3000t+72{,}4^\circ\bigr) Amperes.
  • O que se pede:
    • Determinar o elemento desconhecido que está em paralelo com o capacitor (ou seja, determinar a impedância desse elemento e, se for o caso, identificar seus componentes como R e L ou C).

Passo 2

Transformar os sinais horário em fasores (forma complexa) — explicando o que estou fazendo.
Breve aula: em regime senoidal permanente usamos fasores (números complexos) para representar amplitude e fase. Para um sinal \hat{V}\sin(\omega t+\varphi) o fasor de tensão é V=\hat{V}\angle\varphi (aqui uso amplitude de pico, não valor eficaz; é consistente usar mesma convenção para corrente). O operador j representa um avanço de +90^\circ (ou seja, multiplicar por j equivale a somar 90^\circ à fase).
Aplicando ao nosso caso:
  • Frequência angular: \omega=3000\\ \text{rad/s}.
  • Fasor da tensão (amplitude e fase): V=150\angle 0^\circ\\ \text{V}.
  • Fasor da corrente total: I_T=16{,}5\angle72{,}4^\circ\\ \text{A}.

Passo 3

Calcular a corrente do capacitor em forma de fasor — explicando a fórmula.
Breve aula sobre capacitor em regime senoidal: a relação corrente-tensão do capacitor é i_C(t)=C\frac{dv(t)}{dt}.
Em termos de fasor, a impedância do capacitor é \displaystyle Z_C=\frac{1}{j\omega C} e a corrente fasorial é \displaystyle I_C = \frac{V}{Z_C}=j\omega C\,V. Note que j indica que I_C está +90^\circ adiantado em relação a V.
Cálculo:
\omega C = 3000\cdot 35\times10^{-6}=0{,}105.
\text{Magnitude de }I_C = \omega C\cdot 150 = 0{,}105\cdot150 = 15{,}75\\ \text{A}.
Fasor (ângulo +90^\circ):
I_C = 15{,}75\angle 90^\circ\\ \text{A} \quad\text{(ou em forma retangular }I_C=0 + j15{,}75\text{ A).}

Passo 4

Encontrar o fasor da corrente que passa pelo elemento desconhecido: subtrair os fasores (explicando por quê).
Como o capacitor está em paralelo com o elemento desconhecido, a corrente total é soma das correntes dos ramos. Em fasores:
I_T = I_C + I_x \quad\Rightarrow\quad I_x = I_T - I_C.
Vou fazer a subtração convertendo para forma retangular (parte real + j parte imaginária), porque aí a subtração é componente a componente.
Converter I_T para retangular:
I_T = 16{,}5\angle72{,}4^\circ = 16{,}5\bigl(\cos72{,}4^\circ + j\sin72{,}4^\circ\bigr).
Calculemos os cosseno e seno (valores aproximados):
\cos72{,}4^\circ \approx 0{,}30237,\qquad \sin72{,}4^\circ \approx 0{,}95319.
Assim
I_T \approx 16{,}5(0{,}30237 + j0{,}95319) \approx 4{,}9891 + j15{,}7276\\ \text{A}.
Já tínhamos
I_C = 0 + j15{,}75\\ \text{A}.
Logo
I_x = I_T - I_C \approx (4{,}9891 + j15{,}7276) - (0 + j15{,}75) = 4{,}9891 - j0{,}0224\\ \text{A}.

Passo 5

Interpretar o resultado de I_x e calcular a impedância do elemento desconhecido.
O fasor I_x é quase puramente real (com uma pequena componente imaginária negativa), ou seja, a corrente no elemento desconhecido está quase em fase com a tensão aplicada, com um pequeno atraso (componente imaginária negativa -> corrente ligeiramente defasada para trás em relação à tensão). Isso indica que o elemento é principalmente resistivo com uma pequena reatância indutiva (reatância indutiva dá corrente atrasada).
Agora, a impedância do elemento é
Z_x=\frac{V}{I_x}=\frac{150\angle 0^\circ}{4{,}9891\angle(-0{,}2576^\circ)} = \frac{150}{4{,}9891}\angle 0{,}2576^\circ.
Calculemos a magnitude:
\frac{150}{4{,}9891}\approx 30{,}07\\ \Omega.
E o ângulo:
\angle Z_x = +0{,}2576^\circ.
Converter para forma retangular (parte real R e parte imaginária X):
R = |Z_x|\cos(0{,}2576^\circ)\approx 30{,}07\cos(0{,}2576^\circ)\approx 30{,}07\\ \Omega,
X = |Z_x|\sin(0{,}2576^\circ)\approx 30{,}07\sin(0{,}2576^\circ)\approx 0{,}14\\ \Omega.
Como X>0, é reatância indutiva X=X_L=\omega L. Então
L=\frac{X}{\omega}\approx\frac{0{,}14}{3000}\approx 4{,}5\times10^{-5}\\ \text{H}=45{,}0\\ \mu\text{H}.

Passo 6

Interpretação final e apoio para a prova (dica prática).
  • Conclusão física: o elemento desconhecido pode ser modelado por uma resistência série com uma indutância muito pequena. Numericamente:
    • Impedância: Z_x\approx 30{,}07 + j0{,}14\\ \Omega.
    • Equivalente prático: resistor R\approx 30{,}07\\ \Omega em série com indutor L\approx 45{,}0\\ \mu\text{H}.
Dica de prova: é comum em exercícios que a corrente do capacitor seja quase a corrente total quando C é grande — aí o restante do ramo fica com corrente pequena e a parte reativa do outro ramo pode ser pequena. Procedimento padrão: transformar para fasores, calcular I_C=j\omega C V, obter I_x=I_T-I_C, depois Z_x=V/I_x e, se necessário, decompor Z_x em R e jX e relacionar X a L por X=\omega L.

Resposta

Z_x\approx 30{,}07 + j0{,}14\\ \Omega \Rightarrow R\approx 30{,}07\\ \Omega e L\approx 45{,}0\\ \mu\text{H}.

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