Um circuito paralelo constituído de um ramo de \mathrm{R}=5 \Omega e um único elemento desconhecido no outro ramo tem para tensão aplicada e para corrente total:
v(t)=10 \cos \left(50 t+60^{\circ}\right) )Volts; \quad i(t)=5,38 \cos \left(50 t-8,23^{\circ}\right) Amperes
Achar o elemento desconhecido. R: L = 0,04 H

Passo 1

O enunciado nos dá um circuito paralelo com um ramo resistivo conhecido e outro ramo com um elemento desconhecido. As informações fornecidas são (já peguei tudo do enunciado):
  • Tensão aplicada: v(t)=10\cos\!\left(50t+60^\circ\right) Volts.
  • Corrente total: i(t)=5,38\cos\!\left(50t-8,23^\circ\right) Amperes.
  • Resistência no ramo conhecido: R=5\\ \Omega.
    O que se pede: determinar o elemento desconhecido do outro ramo (ou seja, encontrar sua impedância e identificar se é indutivo, capacitativo ou resistivo; e calcular o valor do indutância/capacitância se for o caso).

Passo 2

Passo importante: passar para a representação fasorial (complexa) para trabalhar com correntes e tensões senoidais de forma simples.
  • A representação fasorial associada a v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi) é \tilde{V}=V_m\angle\varphi. Aqui usamos o valor de amplitude (não RMS), consistente com os dados do enunciado.
  • Daí obtemos: \tilde{V}=10\angle 60^\circ\\ \text{V}, \qquad \omega=50\\ \text{rad/s}.
  • A corrente total em fasor é \tilde{I}_{\text{tot}}=5{,}38\angle(-8{,}23^\circ)\\ \text{A}.

Passo 3

Calcular a corrente no ramo resistivo conhecido usando a lei de Ohm em fasores:
\tilde{I}_R=\frac{\tilde{V}}{R}.
Substituindo:
\tilde{I}_R=\frac{10\angle 60^\circ}{5}=2\angle 60^\circ\\ \text{A}.
Converter para forma retangular (útil para subtração):
2\angle 60^\circ = 2\big(\cos 60^\circ + j\sin 60^\circ\big)=2\big(0{,}5 + j\frac{\sqrt{3}}{2}\big)=1 + j1{,}73205\\ \text{A}.

Passo 4

Converter a corrente total para forma retangular para permitir a subtração componente a componente:
\tilde{I}_{\text{tot}}=5{,}38\angle(-8{,}23^\circ)=5{,}38\big(\cos(-8{,}23^\circ)+j\sin(-8{,}23^\circ)\big).
Calcular os cosseno/seno (valores aproximados):
\cos(-8{,}23^\circ)\approx 0{,}98967,\qquad \sin(-8{,}23^\circ)\approx -0{,}14320.
Então
\tilde{I}_{\text{tot}}\approx 5{,}38(0{,}98967 - j0{,}14320)\approx 5{,}325 - j0{,}7704\\ \text{A}.

Passo 5

A corrente do ramo desconhecido é a diferença entre a corrente total e a corrente do ramo resistivo:
\tilde{I}_x=\tilde{I}_{\text{tot}}-\tilde{I}_R.
Substituindo as formas retangulares:
\tilde{I}_x\approx (5{,}325 - j0{,}7704) - (1 + j1{,}73205) = 4{,}325 - j2{,}50245\\ \text{A}.
Agora calcule módulo e fase para interpretar melhor:
|\tilde{I}_x|=\sqrt{4{,}325^{2}+(-2{,}50245)^{2}}\approx\sqrt{18{,}709 + 6{,}262}\approx\sqrt{24{,}971}\approx 4{,}997\approx 5{,}00\\ \text{A},
\angle\tilde{I}_x=\arctan\!\left(\dfrac{-2{,}50245}{4{,}325}\right)\approx -29{,}99^\circ\approx -30^\circ.
Logo, em forma fasorial notacional simples:
\tilde{I}_x\approx 5\angle(-30^\circ)\\ \text{A}.

Passo 6

Determinar a impedância do elemento desconhecido por divisão fasorial:
\tilde{Z}_x=\frac{\tilde{V}}{\tilde{I}_x}=\frac{10\angle 60^\circ}{5\angle(-30^\circ)}=\frac{10}{5}\angle(60^\circ-(-30^\circ))=2\angle 90^\circ.
Observando que 2\angle 90^\circ em forma retangular é j2. Então
\tilde{Z}_x = j2\\ \Omega.
Isto significa que o elemento é puramente indutivo (reatância indutiva positiva).

Passo 7

Relacionar a reatância indutiva com a indutância: para um indutor vale
\tilde{Z}_L = j\omega L,
onde \omega é a frequência angular e L é a indutância. Assim,
j\omega L = j2 \quad\Rightarrow\quad \omega L = 2.
Como \omega=50\\ \text{rad/s},
L=\frac{2}{50}=0{,}04\\ \text{H}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: a impedância obtida é j2\\ \Omega, que corresponde exatamente a um indutor com L=0{,}04\\ \text{H} na frequência \omega=50\\ \text{rad/s}. Isso é consistente com os ângulos encontrados (o ramo desconhecido tem corrente defasada -30^\circ em relação à tensão de +60^\circ, resultando em corrente atrasada, característico de um indutor).

Resposta

L=0,04\\ \mathrm{H}

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