Um capital de R$ 1 000,00 foi aplicado a juros compostos de taxa positiva durante dois anos. Sabendo que o montante final foi R$ 1 155,00 e que a taxa de juro do 2º ano foi o dobro da taxa do 1º ano, pode-se afirmar que a taxa de juro do 2º ano foi:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um capital inicial de R 1.000, aplicado por dois anos com juros compostos No final, o montante ficou R 1.155. A taxa de juros do segundo ano foi o dobro da taxa do primeiro ano. Vamos descobrir qual foi essa taxa do segundo ano. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os juros compostos e montar uma equação para encontrar o valor que buscamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam os juros compostos. A fórmula básica é:
M = C times (1 + i1) times (1 + i2)
Aqui, $ M $ é o montante final, $ C $ é o capital inicial, $ i_1 $ é a taxa de juros do primeiro ano e $ i_2 $ é a taxa do segundo ano.

Passo 3

Segundo o enunciado, sabemos que $ M = 1155 $, $ C = 1000 $, e que a taxa do segundo ano $ i_2 $ é o dobro da do primeiro ano $ i_1 $. Então, podemos escrever:
M = 1155

Passo 4

Substituindo $ i_2 $ na fórmula dos juros compostos, temos:
i2
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ i_1 $.

Passo 5

Vamos dividir ambos os lados por 1000 para simplificar:
11551000 = (1 + i1)(1 + 2i1)
1,155 = (1 + i1)(1 + 2i1)

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as expressões do lado direito:
1,155 = 1 + 2i1 + i1 + 2i1^2
1,155 = 1 + 3i1 + 2i1^2

Passo 7

Subtraindo 1,155 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
0 = 2i1^2 + 3i1 + 1 - 1,155
0 = 2i1^2 + 3i1 - 0,155

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática:
2i1^2 + 3i1 - 0,155 = 0
Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
i1 = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 2 $, $ b = 3 $, e $ c = -0,155 $.

Passo 9

Calculando o discriminante ($ \Delta $):
De
De
De
De

Passo 10

Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
i1 = -3 pm raiz10,244
i1 = -3 pm 3,24

Passo 11

Temos duas soluções:
  1. $ i_1 = \frac{-3 + 3,2}{4} = \frac{0,2}{4} = 0,05 $ ou 5%
  2. $ i_1 = \frac{-3 - 3,2}{4} = \frac{-6,2}{4} = -1,55 $ ou -155%
Como a taxa de juros não pode ser negativa, descartamos a segunda solução.

Passo 12

Então, $ i_1 = 5% $. Como $ i_2 = 2 \times i_1 $:
i1 = 5%

Resposta

A taxa de juro do segundo ano foi de 10%.

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