Um capital de R$ 1 000,00 foi aplicado a juros compostos de taxa positiva durante dois anos. Sabendo que o montante final foi R$ 1 155,00 e que a taxa de juro do 2º ano foi o dobro da taxa do 1º ano, pode-se afirmar que a taxa de juro do 2º ano foi:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um capital inicial de R
1.155. A taxa de juros do segundo ano foi o dobro da taxa do primeiro ano. Vamos descobrir qual foi essa taxa do segundo ano. Para isso, vamos precisar entender como funcionam os juros compostos e montar uma equação para encontrar o valor que buscamos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam os juros compostos. A fórmula básica é:
Aqui, $ M $ é o montante final, $ C $ é o capital inicial, $ i_1 $ é a taxa de juros do primeiro ano e $ i_2 $ é a taxa do segundo ano.
Passo 3
Segundo o enunciado, sabemos que $ M = 1155 $, $ C = 1000 $, e que a taxa do segundo ano $ i_2 $ é o dobro da do primeiro ano $ i_1 $. Então, podemos escrever:
Passo 4
Substituindo $ i_2 $ na fórmula dos juros compostos, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ i_1 $.
Passo 5
Vamos dividir ambos os lados por 1000 para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as expressões do lado direito:
Passo 7
Subtraindo 1,155 de ambos os lados para igualar a equação a zero:
Passo 8
Agora, temos uma equação quadrática:
Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 2 $, $ b = 3 $, e $ c = -0,155 $.
Passo 9
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 10
Agora, aplicando na fórmula de Bhaskara:
Passo 11
Temos duas soluções:
- $ i_1 = \frac{-3 + 3,2}{4} = \frac{0,2}{4} = 0,05 $ ou 5%
- $ i_1 = \frac{-3 - 3,2}{4} = \frac{-6,2}{4} = -1,55 $ ou -155%
Como a taxa de juros não pode ser negativa, descartamos a segunda solução.
Passo 12
Então, $ i_1 = 5% $. Como $ i_2 = 2 \times i_1 $:
Resposta
A taxa de juro do segundo ano foi de 10%.