Capítulo 3: Cinemática dos fluidos
Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes no plano
:
e
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração
e
), e calcule a aceleração no ponto
.
Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes no plano
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Cinemática dos Fluidos! A gente tem um campo de velocidade que é estacionário (ou seja, não muda com o tempo), incompressível e bidimensional. As componentes da velocidade no plano $ x y $ são dadas por:
Nosso objetivo aqui é calcular o campo de aceleração, ou seja, encontrar as expressões para as componentes da aceleração $ a_{x} $ e $ a_{y} $. Além disso, vamos calcular a aceleração no ponto específico $ (x, y) = (1, 2) $. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas da aceleração em fluidos que envolvem derivadas das componentes da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a aceleração em um campo de velocidade. Em fluidos, a aceleração $ \mathbf{a} $ é dada por:
Isso significa que as componentes da aceleração $ a_{x} $ e $ a_{y} $ são:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Para $ u = 1,85 + 2,33,x + 0,65,y $:
Para $ v = 0,754 - 2,18,x - 2,33,y $:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas nas fórmulas das componentes da aceleração.
Para $ a_{x} $:
Para $ a_{y} $:
Essas são as expressões gerais para as componentes da aceleração no campo de velocidade dado.
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração no ponto específico $ (x, y) = (1, 2) $.
Primeiro, vamos encontrar os valores de $ u $ e $ v $ nesse ponto.
Para $ u $:
Para $ v $:
Agora, substituímos esses valores nas expressões das acelerações:
Para $ a_{x} $:
Para $ a_{y} $:
Resposta
A aceleração no ponto $ (1, 2) $ é:
Ou seja,