Capítulo 3: Cinemática dos fluidos
Um campo de velocidade estacionário, incompressível e bidimensional é dado pelas seguintes componentes no plano x y :
u=1,85+2,33 x+0,65 y e v=0,754-2,18 x-2,33 y
Calcule o campo de aceleração (encontre expressões para os componentes da aceleração ax e ay ), e calcule a aceleração no ponto (x, y)=(1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cinemática dos Fluidos! A gente tem um campo de velocidade que é estacionário (ou seja, não muda com o tempo), incompressível e bidimensional. As componentes da velocidade no plano $ x y $ são dadas por:
x y
u = 1,85 + 2,33,x + 0,65,y
Nosso objetivo aqui é calcular o campo de aceleração, ou seja, encontrar as expressões para as componentes da aceleração $ a_{x} $ e $ a_{y} $. Além disso, vamos calcular a aceleração no ponto específico $ (x, y) = (1, 2) $. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas da aceleração em fluidos que envolvem derivadas das componentes da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a aceleração em um campo de velocidade. Em fluidos, a aceleração $ \mathbf{a} $ é dada por:
a
Isso significa que as componentes da aceleração $ a_{x} $ e $ a_{y} $ são:
a = ( u partial upartial x + v partial upartial y ) i + ( u partial vpartial x + v partial vpartial y ) j
ax
Vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Para $ u = 1,85 + 2,33,x + 0,65,y $:
u = 1,85 + 2,33,x + 0,65,y
partial upartial x = 2,33
Para $ v = 0,754 - 2,18,x - 2,33,y $:
partial upartial y = 0,65
v = 0,754 - 2,18,x - 2,33,y

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas nas fórmulas das componentes da aceleração.
Para $ a_{x} $:
ax
Para $ a_{y} $:
ax = u cdot partial upartial x + v cdot partial upartial y = u cdot 2,33 + v cdot 0,65
Essas são as expressões gerais para as componentes da aceleração no campo de velocidade dado.

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração no ponto específico $ (x, y) = (1, 2) $.
Primeiro, vamos encontrar os valores de $ u $ e $ v $ nesse ponto.
Para $ u $:
(x, y) = (1, 2)
Para $ v $:
u
Agora, substituímos esses valores nas expressões das acelerações:
Para $ a_{x} $:
v
Para $ a_{y} $:
u

Resposta

A aceleração no ponto $ (1, 2) $ é:
(1, 2)
Ou seja,
a = ( 8,8165 ) i + ( 2,2754 ) j

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