Para a carga de 100[\mathrm{kN}] paralela ao plano horizontal (Ângulo \boldsymbol{\varnothing}=0[\mathrm{rad}] ), sendo a barra AC fabricada em aço, com 15[\mathrm{~mm}] de diâmetro e a barra BC fabricada em alumínio, com 25[\mathrm{~mm}] de diâmetro, determinar o valor das tensões em cada uma delas. Considerar UTS { }_{\text {aço igual a } 380 \text { [Mpa] }}ç e UTS { }_{\text {alumínio igual a } 90}í [Mpa].

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado me deu e o que está faltando para poder calcular numericamente as tensões.
  • Dados fornecidos:
    • Carga horizontal: \;P = 100\\ \mathrm{kN} (ângulo \varphi=0\\ \mathrm{rad}, ou seja, paralela ao plano horizontal).
    • Barra AC: material aço, diâmetro \;d_{AC}=15\\ \mathrm{mm}.
    • Barra BC: material alumínio, diâmetro \;d_{BC}=25\\ \mathrm{mm}.
    • UTS (limite último de resistência):
      • Aço: \;\mathrm{UTS}_{\text{aço}} = 380\\ \mathrm{MPa}ç.
      • Alumínio: \;\mathrm{UTS}_{\text{alumínio}} = 90\\ \mathrm{MPa}í.
  • O que falta (informação necessária para obter as tensões numéricas):
    • A posição geométrica/ângulos das barras AC e BC em relação à horizontal (ou a figura com as coordenadas dos nós). Sem esses ângulos não é possível determinar as componentes das forças axiais em cada barra, e portanto não é possível calcular as tensões numéricas.
Observação: a partir das informações dadas posso montar o procedimento passo a passo (as fórmulas e como calcular quando os ângulos/figura estiverem disponíveis). A seguir explico didaticamente esse procedimento.

Passo 2

Equilíbrio das forças no nó onde a carga é aplicada — como achar as forças axiais nas barras.
  • Ideia geral (o que se faz numa prova):
    1. Isolar o nó C (ou o ponto de aplicação da carga) e desenhar as forças: a carga externa \;P e as forças internas axiais nas barras, que chamaremos de \;F_{AC} e \;F_{BC}. Cada força axial tem direção ao longo da barra; cada barra forma um ângulo com a horizontal (esses ângulos são essenciais).
    2. Escrever as equações de equilíbrio estático no ponto (para corpo livre do nó, assumindo barras articuladas no nó):
      • Soma das componentes horizontais nulas: \displaystyle \sum F_x = 0.
      • Soma das componentes verticais nulas: \displaystyle \sum F_y = 0.
    3. Resolver o sistema linear para obter \;F_{AC} e \;F_{BC}.
  • Escrevendo as equações em função dos ângulos:
    • Seja \theta_{AC} o ângulo que a barra AC faz com a horizontal (medido no mesmo sentido adotado), e \theta_{BC} o ângulo da barra BC com a horizontal.
    • A carga está na horizontal, então sua componente vertical é zero e sua componente horizontal é P.
    • Tomando equilíbrio (convenção: forças positivas para a direita e para cima), as equações ficam: F_{AC}\cos(\theta_{AC}) + F_{BC}\cos(\theta_{BC}) + P = 0
F_{AC}\sin(\theta_{AC}) + F_{BC}\sin(\theta_{BC}) = 0
(os sinais dependem da orientação escolhida; acima está escrita de forma que \(P\) é a força externa aplicada para a esquerda — o importante é manter consistência de sinais.)
  • Resolver simbolicamente o sistema (passo-a-passo algébrico):
    • Da equação vertical: F_{BC} = -\,F_{AC}\,\frac{\sin(\theta_{AC})}{\sin(\theta_{BC})}.
    • Substituir na equação horizontal: F_{AC}\cos(\theta_{AC}) - F_{AC}\,\frac{\sin(\theta_{AC})}{\sin(\theta_{BC})}\cos(\theta_{BC}) + P = 0.
    • Isolando F_{AC}: F_{AC}\!\left(\cos(\theta_{AC}) - \frac{\sin(\theta_{AC})\cos(\theta_{BC})}{\sin(\theta_{BC})}\right) = -P.
    • Logo F_{AC} = \frac{-P}{\displaystyle \cos(\theta_{AC}) - \sin(\theta_{AC})\cot(\theta_{BC}) }.
    • Depois de obter F_{AC}, calcula-se F_{BC} usando a relação vertical: F_{BC} = -\,F_{AC}\,\frac{\sin(\theta_{AC})}{\sin(\theta_{BC})}.
Comentário prático: esta solução é simbólica e válida para qualquer configuração. Para obter valores numéricos é preciso conhecer \theta_{AC} e \theta_{BC} (eles vêm da figura ou das coordenadas dos nós).

Passo 3

Como transformar as forças axiais em tensões e verificar com os UTS — fórmulas e conversões numéricas dos diâmetros.
  • Área de uma seção circular:
    A = \frac{\pi d^2}{4}.
    Aplicando aos diâmetros dados (usar mm para área em \mathrm{mm}^2, pois \mathrm{MPa}= \mathrm{N/mm}^2 é conveniente):
    • Para a barra AC ( d_{AC}=15\\ \mathrm{mm}): A_{AC} = \frac{\pi (15)^2}{4} = 56{,}25\pi\\ \mathrm{mm}^2 \approx 176{,}7\\ \mathrm{mm}^2.
    • Para a barra BC ( d_{BC}=25\\ \mathrm{mm}): A_{BC} = \frac{\pi (25)^2}{4} = 156{,}25\pi\\ \mathrm{mm}^2 \approx 490{,}9\\ \mathrm{mm}^2.
  • Tensões axiais (quando F_{AC} e F_{BC} conhecidos):
    \sigma_{AC} = \frac{F_{AC}}{A_{AC}},\qquad \sigma_{BC} = \frac{F_{BC}}{A_{BC}}.
    Observações:
    • Converter P para \mathrm{N} se as forças forem calculadas em \mathrm{N}: \;P = 100\\ \mathrm{kN} = 100\,000\\ \mathrm{N}.
    • Como as áreas estão em \mathrm{mm}^2, para obter \sigma em \mathrm{MPa} (ou \mathrm{N/mm}^2) é conveniente expressar F em \mathrm{N} e dividir por \mathrm{mm}^2.
    • O sinal de \sigma indica se a barra está em tração ( \sigma>0) ou compressão ( \sigma<0), dependendo do sinal adotado para F.
  • Comparação com UTS:
    • Verificar se |\sigma_{AC}| \le \mathrm{UTS}_{\text{aço}} = 380\\ \mathrm{MPa}ç.
    • Verificar se |\sigma_{BC}| \le \mathrm{UTS}_{\text{alumínio}} = 90\\ \mathrm{MPa}í.
    • Em projeto normalmente usa-se fator de segurança; aqui o enunciado só forneceu UTS, então a comparação direta serve para checar se as tensões ultrapassam o limite último.

Passo 4

Resumo prático do passo a passo que você faria na prova (sem a figura numérica):
  1. Ler a figura e extrair os ângulos \theta_{AC}\) e \(\theta_{BC}\) (ou coordenadas dos nós para calcular tangentes/ângulos). 2. Montar as equações de equilíbrio do nó: \[\begin{cases} F_{AC}\cos(\theta_{AC}) + F_{BC}\cos(\theta_{BC}) + P = 0,\\[4pt] F_{AC}\sin(\theta_{AC}) + F_{BC}\sin(\theta_{BC}) = 0. \end{cases}
  2. Resolver para F_{AC}\] e \(F_{BC} (use a fórmula simbólica do Passo 2 ou resolução matricial).
  3. Calcular áreas com \;A=\dfrac{\pi d^2}{4} (usei os valores numéricos: A_{AC}\approx176{,}7\\ \mathrm{mm}^2, A_{BC}\approx490{,}9\\ \mathrm{mm}^2).
  4. Calcular as tensões \sigma_{AC}=F_{AC}/A_{AC} e \sigma_{BC}=F_{BC}/A_{BC} (em \mathrm{MPa}).
  5. Comparar |\sigma| com os respectivos \mathrm{UTS} para avaliar se há risco de ruptura.
Dica amiga e prática: se precisar de uma forma rápida na prova, sempre deixe as forças em \mathrm{N} e as áreas em \mathrm{mm}^2 para obter diretamente \mathrm{MPa}. Anote claramente os sinais das componentes ao decompor as forças para evitar erro de sinal.]

Resposta

Não é possível determinar numericamente as tensões em AC e BC porque a figura ou os ângulos \theta_{AC} e \theta_{BC} das barras em relação à horizontal não foram fornecidos; acima foi apresentado o procedimento completo e as fórmulas necessárias para calcular as tensões assim que esses ângulos (ou a figura com coordenadas) forem conhecidos.

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