Questão 4 Cálculo de Tensões em Planos Inclinados
A tensão máxima e mínima aplicada em um corpo de rocha homogênea mede 1,5 kbar e 0,8 kbar, respectivamente. Quais as tensões normais e cisalhantes nos planos descritos a seguir, paralelos ao eixo intermediário de tensão e cuja tensão normal e \sigma_{1} são inclinadas em:
i) 25^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as tensões principais máxima e mínima e pede a tensão normal e a tensão cisalhante num plano que é paralelo ao eixo da tensão intermediária e cujo plano faz um ângulo de 25^\circ entre a sua normal e a direção de \sigma_{1}. Dados importantes:
  • \sigma_{1}=1{,}5\\ \text{kbar} (tensão máxima)
  • \sigma_{3}=0{,}8\\ \text{kbar} (tensão mínima)
  • o ângulo entre a normal do plano e a direção de \sigma_{1} é \theta=25^\circ
O que se pede:
  • a tensão normal no plano, \sigma_{n};
  • a tensão cisalhante no plano, \tau.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): quando um problema diz que o plano é paralelo ao eixo da tensão intermédia e envolve só \sigma_{1} e \sigma_{3}, podemos tratar o problema como um caso bidimensional com duas tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{3}. Para qualquer plano cuja normal faz ângulo \theta com a direção de \sigma_{1}, as fórmulas de transformação (ou a construção do círculo de Mohr) dão as expressões diretas abaixo. Vou usar essas fórmulas e explicar de onde vêm em seguida.

Passo 3

Fórmulas de transformação (explicação didática curta):
  • O círculo de Mohr é uma representação gráfica que mostra que a tensão normal numa face com normal fazendo ângulo \theta com \sigma_{1} vale o centro do círculo mais a projeção radial, e a tensão cisalhante é a componente perpendicular. Em fórmulas:
\sigma_{n}=\frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}+\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}\cos(2\theta)
\tau=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}\sin(2\theta)
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2} é o centro do círculo de Mohr (média das duas tensões principais).
  • \dfrac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2} é o raio do círculo de Mohr.
  • A dependência em 2\theta aparece porque, no círculo de Mohr, o ângulo no círculo é o dobro do ângulo geométrico entre as direções físicas das faces.

Passo 4

Calcular o centro e o raio com os dados:
\text{centro }C=\frac{\sigma_{1}+\sigma_{3}}{2}=\frac{1{,}5+0{,}8}{2}=\frac{2{,}3}{2}=1{,}15\\ \text{kbar}
\text{raio }R=\frac{\sigma_{1}-\sigma_{3}}{2}=\frac{1{,}5-0{,}8}{2}=\frac{0{,}7}{2}=0{,}35\\ \text{kbar}

Passo 5

Calcular \cos(2\theta) e \sin(2\theta) para \theta=25^\circ. Temos 2\theta=50^\circ. Usando valores trigonométricos (pode-se usar calculadora na prova):
\cos(50^\circ)\approx0{,}6427876097\quad\text{e}\quad \sin(50^\circ)\approx0{,}7660444431.

Passo 6

Substituir nas fórmulas e calcular:
\sigma_{n}=C+R\cos(2\theta)=1{,}15+0{,}35\cdot\cos(50^\circ)
\sigma_{n}=1{,}15+0{,}35\cdot0{,}6427876097\approx1{,}15+0{,}2249756644\approx1{,}3749756644\\ \text{kbar}
Arredondando de forma razoável:
\sigma_{n}\approx1{,}375\\ \text{kbar}
Agora a cisalhante:
\tau=R\sin(2\theta)=0{,}35\cdot\sin(50^\circ)
\tau\approx0{,}35\cdot0{,}7660444431\approx0{,}2681155541\\ \text{kbar}
Arredondando:
\tau\approx0{,}268\\ \text{kbar}

Passo 7

Interpretação e observações finais rápidas (úteis na prova):
  • Sinal e convenção: aqui tratei \sigma_{n} como positivo tração (tensão normal) — como os valores dados são positivos, o resultado é uma tensão normal positiva. A cisalhante \tau acima é o módulo da tensão de cisalhamento; a direção do sentido depende do sistema de eixos, mas normalmente apresenta-se o valor positivo como magnitude.
  • Checagem rápida: \sigma_{n} fica entre \sigma_{1} e \sigma_{3}, e \tau é menor ou igual ao raio R; de fato 1{,}375 está entre 1{,}5 e 0{,}8 e \tau\approx0{,}268<0{,}35, portanto coerente.

Resposta

\sigma_{n}\approx1{,}375\\ \text{kbar}
\tau\approx0{,}268\\ \text{kbar}

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