Questão 4 Cálculo de Tensões em Planos Inclinados
A tensão máxima e mínima aplicada em um corpo de rocha homogênea mede 1,5 kbar e 0,8 kbar, respectivamente. Quais as tensões normais e cisalhantes nos planos descritos a seguir, paralelos ao eixo intermediário de tensão e cuja tensão normal e
são inclinadas em:
i)
i)
Passo 1
O enunciado dá as tensões principais máxima e mínima e pede a tensão normal e a tensão cisalhante num plano que é paralelo ao eixo da tensão intermediária e cujo plano faz um ângulo de
entre a sua normal e a direção de
. Dados importantes:
-
(tensão máxima) -
(tensão mínima) - o ângulo entre a normal do plano e a direção de
é
O que se pede:
- a tensão normal no plano,
; - a tensão cisalhante no plano,
.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): quando um problema diz que o plano é paralelo ao eixo da tensão intermédia e envolve só
e
, podemos tratar o problema como um caso bidimensional com duas tensões principais
e
. Para qualquer plano cuja normal faz ângulo
com a direção de
, as fórmulas de transformação (ou a construção do círculo de Mohr) dão as expressões diretas abaixo. Vou usar essas fórmulas e explicar de onde vêm em seguida.
Passo 3
Fórmulas de transformação (explicação didática curta):
- O círculo de Mohr é uma representação gráfica que mostra que a tensão normal numa face com normal fazendo ângulo
com vale o centro do círculo mais a projeção radial, e a tensão cisalhante é a componente perpendicular. Em fórmulas:
Explicando cada termo:
-
é o centro do círculo de Mohr (média das duas tensões principais). -
é o raio do círculo de Mohr. - A dependência em
aparece porque, no círculo de Mohr, o ângulo no círculo é o dobro do ângulo geométrico entre as direções físicas das faces.
Passo 4
Calcular o centro e o raio com os dados:
Passo 5
Calcular
e
para
. Temos
. Usando valores trigonométricos (pode-se usar calculadora na prova):
Passo 6
Substituir nas fórmulas e calcular:
Arredondando de forma razoável:
Agora a cisalhante:
Arredondando:
Passo 7
Interpretação e observações finais rápidas (úteis na prova):
- Sinal e convenção: aqui tratei
como positivo tração (tensão normal) — como os valores dados são positivos, o resultado é uma tensão normal positiva. A cisalhante acima é o módulo da tensão de cisalhamento; a direção do sentido depende do sistema de eixos, mas normalmente apresenta-se o valor positivo como magnitude. - Checagem rápida:
fica entre e , e é menor ou igual ao raio ; de fato está entre e e , portanto coerente.