Uma carga desequilibrada conectada em Estrela sem Neutro e com impedâncias de fase iguais a \mathrm{Za}=30 / \underline{30}, \mathrm{Zb}=10 / \underline{0}, \mathrm{Zc}=30 /-30 é alimentada por uma fonte trifásica equilibrada de sequência negativa com \mathrm{Vab}=100 / 60. Utilizando a fase b como referência e utilizando o método dos dois wattímetros: (2pts)
b) calcule a leitura dos wattímetros e a notência trifásica
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente, pegando exatamente os valores informados):
A carga é conectada em estrela sem neutro (ponto n’ isolado) e é desequilibrada.
Impedâncias de fase:
\displaystyle Z_a=30\angle 30^\circ,
\displaystyle Z_b=10\angle 0^\circ,
\displaystyle Z_c=30\angle -30^\circ.
A fonte trifásica é equilibrada de sequência negativa e o tensão de linha fornecida é \displaystyle V_{ab}=100\angle 60^\circ.
Devemos usar a fase b como referência de ângulo (ou seja, tomar a fasor de b com ângulo 0^\circ).
Pedidos:
calcular as leituras dos dois wattímetros (método dos dois wattímetros), e
calcular a potência trifásica (potência ativa total).
Observações importantes que já ficam explícitas:
Como a carga é estrela sem neutro, o ponto neutro da carga está isolado e haverá deslocamento do potencial do neutro da carga (V_{n'}). Para encontrar correntes de fase é preciso primeiro determinar V_{n'} (a partir da condição de corrente nodal: I_a+I_b+I_c=0).
No método dos dois wattímetros, tomando a fase b como referência, as leituras sãoW_1=\Re\{V_{ab}\,I_a^*\}, \qquad W_2=\Re\{V_{cb}\,I_c^*\},onde os fasores V_{ab},V_{cb} e as correntes I_a,I_c devem estar no mesmo sistema de referência de ângulo.
Passo 2
Vamos obter os fasores das tensões de fase (tensões de linha para o neutro da fonte) compatíveis com os dados: a fonte é equilibrada de sequência negativa e o módulo da tensão de linha |V_{ab}|=100.
Para uma fonte equilibrada de sequência negativa com tensões de fase de módulo V_{ph}, a tensão de linha tem módulo \sqrt{3}\,V_{ph}. Logo
Precisamos das tensões de fase \;V_a,\;V_b,\;V_c (fase-to-neutral) em um referencial em que a fase b seja referência (V_b terá ângulo 0^\circ). Para sequência negativa os ângulos das fases seguem a ordem inversa, e, usando a relação entre tensão de linha e tensão de fase para sequência negativa, pode-se mostrar (ou memorizar) que
V_{ab}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta_a-30^\circ),
onde \theta_a é o ângulo de V_a. Assim \theta_a=\angle V_{ab}+30^\circ. Se inicialmente tomarmos a fase b com ângulo 0^\circ, obtém-se, após a soma de ângulos apropriada, as tensões de fase (no referencial com V_b referência):
(Obs.: essa escolha é consistente com a sequência negativa e com a informação original \;V_{ab}=100\angle 60^\circ — ao mudar o referencial para fazer V_b com ângulo zero, o ângulo de V_{ab} também rota; aqui trabalhamos com as tensões de fase já colocadas no referencial em que V_b é a referência.)
Para operar com números, vou converter essas tensões para forma retangular (valores aproximados):
Agora vamos determinar o potencial do neutro da carga V_{n'}. Denotando por V_{a}',V_{b}',V_{c}' as tensões fase-a neutro da carga (tensões efetivas sobre as impedâncias) e por I_a,I_b,I_c as correntes de fase (definidas do ponto de fase da fonte para o neutro da carga), valem:
Verificação rápida: I_a+I_b+I_c\approx 0 (pequena diferença numérica devido a arredondamento), portanto está consistente.]
Passo 6
Explique o método dos dois wattímetros (rápido e prático):
Com a fase b como referência, conectam-se os medidores de potência com as bobinas de tensão entre as fases a e b (para o wattímetro 1) e entre c e b (para o wattímetro 2). As bobinas de corrente do wattímetro 1 e 2 ficam nos condutores a e c, respectivamente.
As leituras (valores médios) são dadas por:W_1=\Re\{V_{ab}\,I_a^*\},\qquad W_2=\Re\{V_{cb}\,I_c^*\}.Aqui ^* denota conjugado complexo e V_{ab},V_{cb} são as tensões nas bobinas de tensão no mesmo referencial das correntes.
Importante: usar os fasores V_{ab} e V_{cb} correspondentes ao referencial adotado (neste caso, aquele em que usamos V_b como referência). Vamos calcular esses tensões de linha no nosso referencial:
\begin{aligned} V_{ab}&=V_a-V_b=(-28{,}8675-j50{,}000)-(57{,}735+j0)\\\ &\quad=-86{,}6025 - j50{,}000 \quad\text{(ou seja }100\angle -150^\circ\text{)},\\[4pt] V_{cb}&=V_c-V_b=(-28{,}8675+j50{,}000)-(57{,}735+j0)\\\ &\quad=-86{,}6025 + j50{,}000 \quad\text{(ou seja }100\angle 150^\circ\text{)}. \end{aligned}]
Passo 7
Agora calculamos as leituras dos wattímetros usando as fórmulas. Primeiro prepare os conjugados das correntes:
Note que neste caso particular as duas leituras são iguais e positivas — isso vem da simetria entre as impedâncias Z_a e Z_c (mesmo módulo e ângulos simétricos) e da escolha de referência; é um resultado consistente com as correntes e tensões calculadas.
Passo 8
Potência trifásica ativa total é simplesmente a soma das leituras dos dois wattímetros:
Como verificação alternativa, somando as potências ativas em cada fase (usando P_k=\Re\{V_k' I_k^*\}) também obtém-se o mesmo valor (chegamos a 128{,}869+178{,}697+128{,}869\approx 436{,}436\\ \text{W}), o que confirma coerência dos cálculos.