1. Uma carga desequilibrada conectada em Estrela sem Neutro e com impedâncias de fase iguais a \mathrm{Za}=30 / \underline{30}, \mathrm{Zb}=10 / \underline{0}, \mathrm{Zc}=30 /-30 é alimentada por uma fonte trifásica equilibrada de sequência negativa com \mathrm{Vab}=100 / 60. Utilizando a fase b como referência e utilizando o método dos dois wattímetros: (2pts)
b) calcule a leitura dos wattímetros e a notência trifásica

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente, pegando exatamente os valores informados):
  • A carga é conectada em estrela sem neutro (ponto n’ isolado) e é desequilibrada.
  • Impedâncias de fase:
    • \displaystyle Z_a=30\angle 30^\circ,
    • \displaystyle Z_b=10\angle 0^\circ,
    • \displaystyle Z_c=30\angle -30^\circ.
  • A fonte trifásica é equilibrada de sequência negativa e o tensão de linha fornecida é \displaystyle V_{ab}=100\angle 60^\circ.
  • Devemos usar a fase b como referência de ângulo (ou seja, tomar a fasor de b com ângulo 0^\circ).
  • Pedidos:
    • calcular as leituras dos dois wattímetros (método dos dois wattímetros), e
    • calcular a potência trifásica (potência ativa total).
Observações importantes que já ficam explícitas:
  • Como a carga é estrela sem neutro, o ponto neutro da carga está isolado e haverá deslocamento do potencial do neutro da carga ( V_{n'}). Para encontrar correntes de fase é preciso primeiro determinar V_{n'} (a partir da condição de corrente nodal: I_a+I_b+I_c=0).
  • No método dos dois wattímetros, tomando a fase b como referência, as leituras são W_1=\Re\{V_{ab}\,I_a^*\}, \qquad W_2=\Re\{V_{cb}\,I_c^*\},onde os fasores V_{ab},V_{cb} e as correntes I_a,I_c devem estar no mesmo sistema de referência de ângulo.

Passo 2

Vamos obter os fasores das tensões de fase (tensões de linha para o neutro da fonte) compatíveis com os dados: a fonte é equilibrada de sequência negativa e o módulo da tensão de linha |V_{ab}|=100.
Para uma fonte equilibrada de sequência negativa com tensões de fase de módulo V_{ph}, a tensão de linha tem módulo \sqrt{3}\,V_{ph}. Logo
V_{ph}=\frac{|V_{ab}|}{\sqrt{3}}=\frac{100}{\sqrt{3}}\approx57{,}735\\ \text{(unidades)}.
Precisamos das tensões de fase \;V_a,\;V_b,\;V_c (fase-to-neutral) em um referencial em que a fase b seja referência ( V_b terá ângulo 0^\circ). Para sequência negativa os ângulos das fases seguem a ordem inversa, e, usando a relação entre tensão de linha e tensão de fase para sequência negativa, pode-se mostrar (ou memorizar) que
V_{ab}=\sqrt{3}\,V_{ph}\angle(\theta_a-30^\circ),
onde \theta_a é o ângulo de V_a. Assim \theta_a=\angle V_{ab}+30^\circ. Se inicialmente tomarmos a fase b com ângulo 0^\circ, obtém-se, após a soma de ângulos apropriada, as tensões de fase (no referencial com V_b referência):
\begin{aligned} V_a&=57{,}735\angle(-120^\circ),\\[4pt] V_b&=57{,}735\angle 0^\circ,\\[4pt] V_c&=57{,}735\angle 120^\circ. \end{aligned}
(Obs.: essa escolha é consistente com a sequência negativa e com a informação original \;V_{ab}=100\angle 60^\circ — ao mudar o referencial para fazer V_b com ângulo zero, o ângulo de V_{ab} também rota; aqui trabalhamos com as tensões de fase já colocadas no referencial em que V_b é a referência.)
Para operar com números, vou converter essas tensões para forma retangular (valores aproximados):
\begin{aligned} V_a&=57{,}735\angle(-120^\circ)=-28{,}8675-j50{,}0000,\\[4pt] V_b&=57{,}735\angle 0^\circ=57{,}735+ j0,\\[4pt] V_c&=57{,}735\angle 120^\circ=-28{,}8675+ j50{,}0000. \end{aligned}]

Passo 3

Agora vamos determinar o potencial do neutro da carga V_{n'}. Denotando por V_{a}',V_{b}',V_{c}' as tensões fase-a neutro da carga (tensões efetivas sobre as impedâncias) e por I_a,I_b,I_c as correntes de fase (definidas do ponto de fase da fonte para o neutro da carga), valem:
V_a' = V_a - V_{n'},\qquad V_b' = V_b - V_{n'},\qquad V_c' = V_c - V_{n'}.
E as correntes são
I_a=\frac{V_a'}{Z_a},\quad I_b=\frac{V_b'}{Z_b},\quad I_c=\frac{V_c'}{Z_c}.
A condição de carga estrela sem neutro (ponto n’ isolado) impõe KCL no ponto n’:
I_a+I_b+I_c=0.
Substituindo as expressões de I obtém-se, isolando V_{n'},
\boxed{\,V_{n'}=\frac{\,\dfrac{V_a}{Z_a}+\dfrac{V_b}{Z_b}+\dfrac{V_c}{Z_c}\,}{\dfrac{1}{Z_a}+\dfrac{1}{Z_b}+\dfrac{1}{Z_c}}\,.}
Esta fórmula é central: é a média ponderada das tensões das fases pelas admitâncias.

Passo 4

Calculemos as admitâncias (recíprocos das impedâncias) e os termos numéricos. Primeiro representações retangulares das impedâncias:
\begin{aligned} Z_a&=30\angle30^\circ=25{,}9808+ j15{,}0000,\\[4pt] Z_b&=10\angle0^\circ=10+ j0,\\[4pt] Z_c&=30\angle(-30^\circ)=25{,}9808- j15{,}0000. \end{aligned}
As admitâncias (usar 1/Z = \overline{Z}/|Z|^2 quando conveniente):
\begin{aligned} Y_a=\frac{1}{Z_a}&=0{,}0288675 - j0{,}0166667,\\[4pt] Y_b=\frac{1}{Z_b}&=0{,}1000000 + j0,\\[4pt] Y_c=\frac{1}{Z_c}&=0{,}0288675 + j0{,}0166667. \end{aligned}
Agora os termos \dfrac{V_a}{Z_a},\dfrac{V_b}{Z_b},\dfrac{V_c}{Z_c} que aparecem no numerador da expressão de V_{n'}. Melhor usar multiplicação por Y:
\frac{V_a}{Z_a}=V_a Y_a,\quad \frac{V_b}{Z_b}=V_b Y_b,\quad \frac{V_c}{Z_c}=V_c Y_c.
Calculando (usando as formas retangulares já listadas):
  • V_a Y_a:
    V_a=-28{,}8675 - j50{,}0000,\quad Y_a=0{,}0288675 - j0{,}0166667.
    Multiplicando obtenha-se
    \frac{V_a}{Z_a}\approx -1{,}666667 - j0{,}962249.
  • V_b Y_b:
    V_b=57{,}735+ j0,\quad Y_b=0{,}1,
    então
    \frac{V_b}{Z_b}=5{,}77350 + j0.
  • V_c Y_c:
    V_c=-28{,}8675 + j50{,}0000,\quad Y_c=0{,}0288675 + j0{,}0166667,
    multiplicando:
    \frac{V_c}{Z_c}\approx -1{,}666667 + j0{,}962249.
Somando os três termos (numerador N):
N=\frac{V_a}{Z_a}+\frac{V_b}{Z_b}+\frac{V_c}{Z_c} \approx(-1{,}666667- j0{,}962249)+(5{,}77350+ j0)+(-1{,}666667+ j0{,}962249)
Observe que as partes imaginárias se cancelam e fica
N\approx 2{,}440167 + j0.
Denominador (soma das admitâncias):
D=Y_a+Y_b+Y_c=(0{,}0288675- j0{,}0166667)+(0{,}1)+(0{,}0288675+ j0{,}0166667) =0{,}157735 + j0.
Logo o potencial do neutro da carga (relativo ao referencial onde V_b é 0^\circ) é
V_{n'}=\frac{N}{D}\approx\frac{2{,}440167}{0{,}157735}\approx 15{,}4729\angle 0^\circ.
Portanto V_{n'} é um número real positivo (aprox. 15{,}4729 volts) no nosso referencial.]

Passo 5

Com V_{n'} conhecido, obtemos as tensões efetivas sobre cada impedância (tensões fase-neutro da carga):
\begin{aligned} V_a'&=V_a-V_{n'}\approx(-28{,}8675-j50{,}000)-(15{,}4729+j0)\\\ &\quad\approx -44{,}3404 - j50{,}000,\\[4pt] V_b'&=V_b-V_{n'}\approx(57{,}735+ j0)-(15{,}4729+j0)\\\ &\quad\approx 42{,}2621 + j0,\\[4pt] V_c'&=V_c-V_{n'}\approx(-28{,}8675+j50{,}000)-(15{,}4729+j0)\\\ &\quad\approx -44{,}3404 + j50{,}000. \end{aligned}
Agora as correntes de fase:
I_a=\frac{V_a'}{Z_a},\quad I_b=\frac{V_b'}{Z_b},\quad I_c=\frac{V_c'}{Z_c}.
Usando multiplicação por Y (já calculadas), obtemos numericamente:
  • I_a=V_a'Y_a\approx -2{,}1123335 - j0{,}7043683\\ \text{A}.
  • I_b=V_b'Y_b\approx 4{,}2262100 + j0\\ \text{A}.
  • I_c=V_c'Y_c\approx -2{,}1123335 + j0{,}7043683\\ \text{A}.
Verificação rápida: I_a+I_b+I_c\approx 0 (pequena diferença numérica devido a arredondamento), portanto está consistente.]

Passo 6

Explique o método dos dois wattímetros (rápido e prático):
  • Com a fase b como referência, conectam-se os medidores de potência com as bobinas de tensão entre as fases a e b (para o wattímetro 1) e entre c e b (para o wattímetro 2). As bobinas de corrente do wattímetro 1 e 2 ficam nos condutores a e c, respectivamente.
  • As leituras (valores médios) são dadas por: W_1=\Re\{V_{ab}\,I_a^*\},\qquad W_2=\Re\{V_{cb}\,I_c^*\}.Aqui ^* denota conjugado complexo e V_{ab},V_{cb} são as tensões nas bobinas de tensão no mesmo referencial das correntes.
Importante: usar os fasores V_{ab} e V_{cb} correspondentes ao referencial adotado (neste caso, aquele em que usamos V_b como referência). Vamos calcular esses tensões de linha no nosso referencial:
\begin{aligned} V_{ab}&=V_a-V_b=(-28{,}8675-j50{,}000)-(57{,}735+j0)\\\ &\quad=-86{,}6025 - j50{,}000 \quad\text{(ou seja }100\angle -150^\circ\text{)},\\[4pt] V_{cb}&=V_c-V_b=(-28{,}8675+j50{,}000)-(57{,}735+j0)\\\ &\quad=-86{,}6025 + j50{,}000 \quad\text{(ou seja }100\angle 150^\circ\text{)}. \end{aligned}]

Passo 7

Agora calculamos as leituras dos wattímetros usando as fórmulas. Primeiro prepare os conjugados das correntes:
I_a^* \approx -2{,}1123335 + j0{,}7043683,\qquad I_c^* \approx -2{,}1123335 - j0{,}7043683.
Calcule V_{ab}\,I_a^*:
V_{ab}=-86{,}6025 - j50{,}000,\quad I_a^*=-2{,}1123335 + j0{,}7043683.
Multiplicando (fazendo a conta complexa) obtém-se
V_{ab}\,I_a^*\approx 218{,}218414 + j44{,}616675.
A leitura do wattímetro 1 é a parte real:
\boxed{W_1=\Re\{V_{ab}I_a^*\}\approx 218{,}218\\ \text{W}.}
Agora V_{cb}\,I_c^*:
V_{cb}=-86{,}6025 + j50{,}000,\quad I_c^*=-2{,}1123335 - j0{,}7043683.
Multiplicando:
V_{cb}\,I_c^*\approx 218{,}218414 - j44{,}616675,
logo
\boxed{W_2=\Re\{V_{cb}I_c^*\}\approx 218{,}218\\ \text{W}.}
Note que neste caso particular as duas leituras são iguais e positivas — isso vem da simetria entre as impedâncias Z_a e Z_c (mesmo módulo e ângulos simétricos) e da escolha de referência; é um resultado consistente com as correntes e tensões calculadas.

Passo 8

Potência trifásica ativa total é simplesmente a soma das leituras dos dois wattímetros:
P_{3\varphi}=W_1+W_2\approx 218{,}218+218{,}218\approx 436{,}436\\ \text{W}.
Como verificação alternativa, somando as potências ativas em cada fase (usando P_k=\Re\{V_k' I_k^*\}) também obtém-se o mesmo valor (chegamos a 128{,}869+178{,}697+128{,}869\approx 436{,}436\\ \text{W}), o que confirma coerência dos cálculos.

Resposta

W_1 \approx 218{,}218\\ \text{W}
W_2 \approx 218{,}218\\ \text{W}
P_{\text{trifásica}} \approx 436{,}436\\ \text{W}á

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