(a) Determine a equação temporal i(t) da corrente de descarga.

Passo 1

O enunciado que recebi é apenas: “(a) Determine a equação temporal i(t) da corrente de descarga.”
O que isso pede: obter uma expressão de i(t) durante o processo de descarga.
Informações que o enunciado deveria dar (mas não deu): tipo de circuito (por exemplo um capacitor (RC) a descarregar através de um resistor, ou um indutor (RL) descarregando através de um resistor), valores dos componentes ( R,C,L ), e a condição inicial (por exemplo tensão inicial do capacitor V_0 ou corrente inicial do indutor I_0 ).
Conclusão deste passo: não há dados numéricos nem figura anexada. Portanto não é possível fornecer uma única expressão numérica específica. Vou, então, explicar passo a passo e deduzir as equações temporais para os dois casos mais comuns de “descarga”:
  • descarga de um capacitor em um circuito RC (capacitor descarregando através de um resistor);
  • descarga de um indutor em um circuito RL (indutor descarregando através de um resistor).
    Em cada caso vou definir claramente as incógnitas e as condições iniciais necessárias e mostrar a resolução completa e didática.

Passo 2

Primeiro caso: descarga de um capacitor através de um resistor (circuito série simples R e C). Vou definir as grandezas e convenções de sinal para não confundir:
  • R é a resistência em ohms.
  • C é a capacitância em farads.
  • v_C(t) é a tensão no capacitor entre o terminal positivo e o negativo.
  • i(t) é a corrente que passa pelo resistor do terminal positivo do capacitor para o terminal negativo (direção de descarga).
  • condição inicial: em t=0 o capacitor tem tensão v_C(0)=V_0.
Conceito importante (capacitor):
  • A relação fundamental do capacitor é i_C(t)=C\,\dfrac{d v_C(t)}{dt}, onde i_C é a corrente que entra no terminal que define o sinal positivo de v_C. Atenção ao sinal: se a corrente que estamos chamando i(t) sai do terminal positivo, então a corrente que entra no terminal positivo é -i(t). Vou usar isso explicitamente abaixo.

Passo 3

Montagem da equação para o circuito RC (aplicando as leis de circuito):
  • A única malha contém o resistor e o capacitor; a soma algébrica das quedas de tensão na malha deve ser zero (Lei de Kirchhoff das Tensões, KVL).
  • A queda no resistor (no sentido da corrente i) é v_R(t)=R\,i(t).
  • A tensão do capacitor, do terminal positivo ao negativo, é v_C(t).
    Escolhendo o sentido de malha coerente, a equação KVL resulta em
v_R(t)-v_C(t)=0.
Portanto
R\,i(t)=v_C(t).
Agora relacionamos i(t) com v_C(t) pelo capacitor: a corrente que entra no terminal positivo do capacitor é i_C(t) = C\,\dfrac{d v_C}{dt}. Mas nossa i(t) foi definida saindo do terminal positivo, então i_C(t) = -\,i(t). Assim
-\,i(t) = C\,\dfrac{d v_C(t)}{dt}.
Substituindo i(t)=\dfrac{v_C(t)}{R} na relação acima obtemos a equação diferencial para v_C(t):
-\,\dfrac{v_C(t)}{R} = C\,\dfrac{d v_C(t)}{dt}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial para v_C(t) e obter i(t):
A equação do passo anterior é
C\,\dfrac{d v_C(t)}{dt} + \dfrac{v_C(t)}{R} = 0.
Colocando na forma padrão:
\dfrac{d v_C(t)}{dt} + \dfrac{1}{RC}\,v_C(t) = 0.
Isto é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem homogênea com coeficiente constante. O método de separação (ou reconhecer solução exponencial) dá:
v_C(t) = V_0\,e^{-t/(RC)},
onde V_0=v_C(0) é a tensão inicial do capacitor. Agora usamos i(t)=\dfrac{v_C(t)}{R} (veio de R\,i=v_C) para obter a corrente:
i(t) = \dfrac{V_0}{R}\,e^{-t/(RC)}.
Observações sobre sinais e interpretação:
  • i(t) positiva (com a convenção escolhida) significa corrente do terminal positivo para o negativo — isto é, descarga do capacitor.
  • A constante de tempo do circuito é \tau = RC. Em t=\tau a tensão e a corrente caem para e^{-1}\approx0,367 do valor inicial.

Passo 5

Explicação didática do que cada termo significa e dica prática de prova:
  • A constante de tempo \tau = RC tem unidade de tempo: quanto maior R ou C, mais lenta a descarga.
  • A amplitude inicial da corrente é i(0)=\dfrac{V_0}{R}.
  • Em provas: identifique sempre a condição inicial V_0 e a rede que faz a descarga (se o resistor está em série com o capacitor). A forma exponencial é a mesma para qualquer R e C, só muda \tau e a amplitude inicial.
    Exemplo rápido extra: se V_0=10\\ \text{V} e R=2\\ \Omega então i(0)=5\\ \text{A} e i(t)=5\,e^{-t/(2C)} se C conhecido.

Passo 6

Segundo caso: descarga de um indutor através de um resistor (circuito série R e L). Definições:
  • L é a indutância em henrys.
  • R é a resistência.
  • i(t) é a corrente no circuito (toda a malha), com condição inicial i(0)=I_0.
    Conceito importante (indutor):
  • A tensão no indutor é v_L(t)=L\,\dfrac{d i(t)}{dt}, com sinal conforme a variação de corrente.

Passo 7

Montagem da equação para o circuito RL (KVL) e solução:
Aplicando KVL na malha (tomando sinais convencionais):
v_R(t) + v_L(t) = 0.
Como v_R(t)=R\,i(t) e v_L(t)=L\,\dfrac{d i(t)}{dt}, obtemos
R\,i(t) + L\,\dfrac{d i(t)}{dt} = 0.
Reescrevendo:
\dfrac{d i(t)}{dt} + \dfrac{R}{L}\,i(t) = 0.
Resolver por separação (ou reconhecer a solução exponencial) leva a
i(t) = I_0\,e^{-R t / L},
onde I_0=i(0) é a corrente inicial no indutor. A constante de tempo aqui é \tau = \dfrac{L}{R}.

Passo 8

Interpretação, comparação e dicas finais:
  • Tanto no caso RC quanto no RL a forma temporal da descarga é exponencial decrescente. A diferença está em qual grandeza decai (tensão no capacitor ou corrente no indutor) e na expressão da constante de tempo.
  • Resumo das fórmulas (com as condições iniciais explicitadas):
    • Para descarga de um capacitor com v_C(0)=V_0: v_C(t)=V_0\,e^{-t/(RC)},\qquad i(t)=\dfrac{V_0}{R}\,e^{-t/(RC)}.
    • Para descarga de um indutor com i(0)=I_0: i(t)=I_0\,e^{-R t / L}.
  • Em prova: primeiro identifique qual dos dois tipos (capacitor ou indutor) está descarregando; escreva as equações constitutivas i=C\,dv_C/dt (com atenção ao sentido) e v_L=L\,di/dt; em seguida escreva KVL e resolva a EDO linear de 1.ª ordem.

Resposta

Se o circuito for descarga de um capacitor com v_C(0)=V_0:
i(t)=\dfrac{V_0}{R}\,e^{-t/(RC)}.
Se o circuito for descarga de um indutor com i(0)=I_0:
i(t)=I_0\,e^{-R t / L}.

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