(a) Determine a equação temporal
da corrente de descarga.
Passo 1
O enunciado que recebi é apenas: “(a) Determine a equação temporal
da corrente de descarga.”
O que isso pede: obter uma expressão de durante o processo de descarga.
Informações que o enunciado deveria dar (mas não deu): tipo de circuito (por exemplo um capacitor a descarregar através de um resistor, ou um indutor
descarregando através de um resistor), valores dos componentes (
), e a condição inicial (por exemplo tensão inicial do capacitor
ou corrente inicial do indutor
).
O que isso pede: obter uma expressão de
Informações que o enunciado deveria dar (mas não deu): tipo de circuito (por exemplo um capacitor
Conclusão deste passo: não há dados numéricos nem figura anexada. Portanto não é possível fornecer uma única expressão numérica específica. Vou, então, explicar passo a passo e deduzir as equações temporais para os dois casos mais comuns de “descarga”:
- descarga de um capacitor em um circuito
(capacitor descarregando através de um resistor); - descarga de um indutor em um circuito
(indutor descarregando através de um resistor).
Em cada caso vou definir claramente as incógnitas e as condições iniciais necessárias e mostrar a resolução completa e didática.
Passo 2
Primeiro caso: descarga de um capacitor através de um resistor (circuito série simples
e
). Vou definir as grandezas e convenções de sinal para não confundir:
-
é a resistência em ohms. -
é a capacitância em farads. -
é a tensão no capacitor entre o terminal positivo e o negativo. -
é a corrente que passa pelo resistor do terminal positivo do capacitor para o terminal negativo (direção de descarga). - condição inicial: em
o capacitor tem tensão .
Conceito importante (capacitor):
- A relação fundamental do capacitor é
, onde é a corrente que entra no terminal que define o sinal positivo de . Atenção ao sinal: se a corrente que estamos chamando sai do terminal positivo, então a corrente que entra no terminal positivo é . Vou usar isso explicitamente abaixo.
Passo 3
Montagem da equação para o circuito
(aplicando as leis de circuito):
- A única malha contém o resistor e o capacitor; a soma algébrica das quedas de tensão na malha deve ser zero (Lei de Kirchhoff das Tensões, KVL).
- A queda no resistor (no sentido da corrente
) é . - A tensão do capacitor, do terminal positivo ao negativo, é
.
Escolhendo o sentido de malha coerente, a equação KVL resulta em
Portanto
Agora relacionamos
com
pelo capacitor: a corrente que entra no terminal positivo do capacitor é
. Mas nossa
foi definida saindo do terminal positivo, então
. Assim
Substituindo
na relação acima obtemos a equação diferencial para
:
Passo 4
Resolver a equação diferencial para
e obter
:
A equação do passo anterior é
A equação do passo anterior é
Colocando na forma padrão:
Isto é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem homogênea com coeficiente constante. O método de separação (ou reconhecer solução exponencial) dá:
onde
é a tensão inicial do capacitor. Agora usamos
(veio de
) para obter a corrente:
Observações sobre sinais e interpretação:
-
positiva (com a convenção escolhida) significa corrente do terminal positivo para o negativo — isto é, descarga do capacitor. - A constante de tempo do circuito é
. Em a tensão e a corrente caem para do valor inicial.
Passo 5
Explicação didática do que cada termo significa e dica prática de prova:
- A constante de tempo
tem unidade de tempo: quanto maior ou , mais lenta a descarga. - A amplitude inicial da corrente é
. - Em provas: identifique sempre a condição inicial
e a rede que faz a descarga (se o resistor está em série com o capacitor). A forma exponencial é a mesma para qualquer e , só muda e a amplitude inicial.
Exemplo rápido extra: see então e se conhecido.
Passo 6
Segundo caso: descarga de um indutor através de um resistor (circuito série
e
). Definições:
-
é a indutância em henrys. -
é a resistência. -
é a corrente no circuito (toda a malha), com condição inicial .
Conceito importante (indutor): - A tensão no indutor é
, com sinal conforme a variação de corrente.
Passo 7
Montagem da equação para o circuito
(KVL) e solução:
Aplicando KVL na malha (tomando sinais convencionais):
Aplicando KVL na malha (tomando sinais convencionais):
Como
e
, obtemos
Reescrevendo:
Resolver por separação (ou reconhecer a solução exponencial) leva a
onde
é a corrente inicial no indutor. A constante de tempo aqui é
.
Passo 8
Interpretação, comparação e dicas finais:
- Tanto no caso
quanto no a forma temporal da descarga é exponencial decrescente. A diferença está em qual grandeza decai (tensão no capacitor ou corrente no indutor) e na expressão da constante de tempo. - Resumo das fórmulas (com as condições iniciais explicitadas):
- Para descarga de um capacitor com
: - Para descarga de um indutor com
:
- Para descarga de um capacitor com
- Em prova: primeiro identifique qual dos dois tipos (capacitor ou indutor) está descarregando; escreva as equações constitutivas
(com atenção ao sentido) e ; em seguida escreva KVL e resolva a EDO linear de 1.ª ordem.
Resposta
Se o circuito for descarga de um capacitor com
:
Se o circuito for descarga de um indutor com
: