A carga elétrica que atravessa um dado trecho de um circuito varia com o tempo segundo a equação: q(t)= (2 k1 t+k2 t^2) C, onde t é dado em segundos. Calcule os valores das constantes K1 e K2, sabendo que i(0)=4 A e i(3)=-4 A.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que descreve como a carga elétrica $ q(t) $ varia com o tempo $ t $:
q(t)
Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes $ k_{1} $ e $ k_{2} $. Para isso, vamos precisar usar o conceito de corrente elétrica, que está relacionada à variação da carga elétrica no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica $ i(t) $ é a derivada da carga elétrica em relação ao tempo:
i(t)
Isso significa que, para encontrar $ i(t) $, precisamos derivar a função $ q(t) $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos derivar $ q(t) = 2 k_{1} t + k_{2} t^{2} $ em relação a $ t $:
q(t) = 2 k1 t + k2 t^2
Então, a expressão para a corrente é:
t

Passo 4

Agora, vamos usar as informações dadas na questão para montar um sistema de equações. Sabemos que:
  • Quando $ t = 0 $, $ i(0) = 4 , A $
  • Quando $ t = 3 $, $ i(3) = -4 , A $
Vamos substituir esses valores na expressão de $ i(t) $.

Passo 5

Primeiro, para $ t = 0 $:
t = 0
Isso nos dá:
i(0) = 2 k1 + 2 k2 times 0 = 2 k1 = 4

Passo 6

Agora, para $ t = 3 $:
t = 3
Sabemos que $ k_{1} = 2 $, então substituímos:
i(3) = 2 k1 + 2 k2 times 3 = 2 k1 + 6 k2 = -4
Subtraindo 4 de ambos os lados:
k1 = 2

Resposta

As constantes são $ k_{1} = 2 $ e $ k_{2} = -\frac{4}{3} $.

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