A carga elétrica que atravessa um dado trecho de um circuito varia com o tempo segundo a equação:
, onde
é dado em segundos. Calcule os valores das constantes
e
, sabendo que
e
A.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação que descreve como a carga elétrica $ q(t) $ varia com o tempo $ t $:
Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes $ k_{1} $ e $ k_{2} $. Para isso, vamos precisar usar o conceito de corrente elétrica, que está relacionada à variação da carga elétrica no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a corrente elétrica $ i(t) $ é a derivada da carga elétrica em relação ao tempo:
Isso significa que, para encontrar $ i(t) $, precisamos derivar a função $ q(t) $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos derivar $ q(t) = 2 k_{1} t + k_{2} t^{2} $ em relação a $ t $:
Então, a expressão para a corrente é:
Passo 4
Agora, vamos usar as informações dadas na questão para montar um sistema de equações. Sabemos que:
- Quando $ t = 0 $, $ i(0) = 4 , A $
- Quando $ t = 3 $, $ i(3) = -4 , A $
Vamos substituir esses valores na expressão de $ i(t) $.
Passo 5
Primeiro, para $ t = 0 $:
Isso nos dá:
Passo 6
Agora, para $ t = 3 $:
Sabemos que $ k_{1} = 2 $, então substituímos:
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Resposta
As constantes são $ k_{1} = 2 $ e $ k_{2} = -\frac{4}{3} $.