O carro B faz uma curva de modo que sua velocidade aumenta segundo \left(a_{t}\right)_{B}=\left(0,5 t^{2}\right) \mathrm{m} / s^{2}, onde t está em segundos. Se o carro parte do repouso em \theta=0^{\circ}, determine as magnitudes de sua velocidade e de sua aceleração quando t=2 \mathrm{~s}. Despreze o tamanho do carro.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento circular não uniforme de raio r = 5,m. O carro parte do repouso em \theta=0^\circ e tem aceleração tangencial
a_t(t)=0,5\,t^2\quad\bigl[\mathrm{m/s}^2\bigr].
Precisamos achar, em t=2,s, a velocidade tangencial v e a aceleração resultante \bigl|\vec a\bigr|, que é composta pela parte tangencial a_t e pela parte normal (centrípeta) a_n.

Passo 2

Para obter a velocidade tangencial integra­mos a aceleração tangencial:
v(t)\;=\;\int_{0}^{t}a_t(\tau)\,d\tau \;=\;\int_{0}^{t}0,5\,\tau^2\,d\tau \;=\;0,5\cdot\frac{t^3}{3} \;=\;\frac{1}{6}\,t^3.

Passo 3

Em t=2,s temos
v(2)=\frac{1}{6}\,(2)^3=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx1{,}33\;\mathrm{m/s},
e a aceleração tangencial
a_t(2)=0,5\,(2)^2=2{,}0\;\mathrm{m/s}^2.

Passo 4

A aceleração normal (centrípeta) é dada por
a_n=\frac{v^2}{r} =\frac{\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)^2}{5} =\frac{16/9}{5} =\frac{16}{45}\approx0{,}356\;\mathrm{m/s}^2.

Passo 5

A magnitude da aceleração total é
\bigl|\vec a\bigr| =\sqrt{a_t^2 + a_n^2} =\sqrt{(2{,}0)^2+(0{,}356)^2} \approx\sqrt{4 + 0{,}1267} \approx2{,}03\;\mathrm{m/s}^2.

Resposta

Velocidade: \displaystyle v=1{,}33\;\mathrm{m/s}.
Aceleração total: \displaystyle \bigl|\vec a\bigr|=2{,}03\;\mathrm{m/s}^2.

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