Para um carro se deslocando a uma certa velocidade, é possível inclinar o plano da curva (na direção transversal da pista) em um ângulo exato para que não seja necessário absolutamente nenhum atrito para manter o raio da curva do carro. Neste caso, o carro pode completar a curva sem deslizar, mesmo sobre uma pista com gelo. Um engenheiro propõe reconstruir uma curva de uma pista plana incluindo uma inclinação lateral beta modo que um carro com velocidade v=90 km / h possa completar a curva de raio R=230 m com segurança, mesmo desprezando o atrito (Fig. 2). Qual deve ser o ângulo beta da inclinação lateral da curva?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como inclinar uma curva em uma pista de corrida para que um carro consiga fazer a curva sem precisar depender da aderência dos pneus, mesmo se a pista estiver gelada. A matéria envolvida aqui é dinâmica de movimentos circulares, especialmente o conceito de força centrípeta e inclinação de curvas. Para resolver, vamos precisar entender como a velocidade do carro, o raio da curva e a gravidade influenciam o ângulo de inclinação necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade do carro de quilômetros por hora (km/h) para metros por segundo (m/s), porque as unidades do Sistema Internacional usam metros e segundos. A fórmula para converter é:
v (m/s) = v (km/h) times 1000 , m3600 , s
Substituindo os valores:
v = 90 times 10003600 = 25 , m/s
Então, a velocidade do carro é 25 m/s.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para um carro fazer uma curva sem deslizar, a força que mantém o carro na trajetória é a força centrípeta. Em uma pista inclinada, essa força vem da componente horizontal da força normal (a força perpendicular à pista). A fórmula da força centrípeta é:
Fc = m v^2R
Onde:
  • $ F_c $ é a força centrípeta,
  • $ m $ é a massa do carro,
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ R $ é o raio da curva.
Mas como queremos que essa força resulte apenas da inclinação, sem atrito, vamos relacionar a inclinação $ \beta $ com esses parâmetros.

Passo 4

Em uma curva inclinada, o ângulo $ \beta $ é tal que a componente horizontal da força normal fornece a força centrípeta necessária. A relação entre o ângulo, a velocidade e o raio é dada por:
beta
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $),
  • $ R $ é o raio da curva.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula para encontrar $ \beta $:
beta
Agora, para encontrar o ângulo $ \beta $, usamos a função inversa da tangente:
tan beta = 25^29,8 times 230 = 6252254 approx 0,277

Resposta

O ângulo de inclinação lateral da curva deve ser de aproximadamente 15,5 graus.

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