Um carro viaja de Pirajuba a Quixajuba com velocidade constante de 60 km/h, em uma estrada que passa por Arraial. Às 11 horas, o carro havia percorrido 1/4 da distância entre Pirajuba e Arraial e, às 15 horas, havia percorrido 3/4 da distância entre Arraial e Quixajuba. Qual é a distância entre Pirajuba e Quixajuba?
(A) 150 km
(B) © 300 km
180 km
(D) 320 km
(E) 400 km
(A) 150 km
(B) © 300 km
180 km
(D) 320 km
(E) 400 km
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um carro que vai de Pirajuba a Quixajuba passando por Arraial, a uma velocidade constante de 60 km/h. A gente sabe que:
- Às 11 horas, o carro já percorreu 1/4 da distância entre Pirajuba e Arraial.
- Às 15 horas, o carro já percorreu 3/4 da distância entre Arraial e Quixajuba.
Nosso objetivo é descobrir qual é a distância total entre Pirajuba e Quixajuba. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento uniforme e proporcionalidade nas distâncias e nos tempos.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a distância total entre Pirajuba e Arraial de $ D_1 $ e entre Arraial e Quixajuba de $ D_2 $. Assim, a distância total entre Pirajuba e Quixajuba é $ D = D_1 + D_2 $.
Passo 3
Sabemos que o carro viaja a uma velocidade constante de 60 km/h. A velocidade constante significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto. A fórmula que relaciona distância ($ d
v
t $) é:
Passo 4
Vamos analisar o que acontece às 11 horas:
O carro percorreu $ \frac{1}{4} $ de $ D_1 $, então a distância percorrida até as 11 horas é:
Usando a fórmula da distância:
Onde $ t_1 $ é o tempo desde o início da viagem até as 11 horas.
Passo 5
Agora, às 15 horas, o carro percorreu $ \frac{3}{4} $ de $ D_2 $. A distância total percorrida até as 15 horas é:
Usando a fórmula da distância novamente:
Onde $ t_2 $ é o tempo desde o início da viagem até as 15 horas.
Passo 6
Observamos que o intervalo de tempo entre as 11 horas e as 15 horas é de 4 horas. Então:
Agora, temos um sistema de equações:
- $ \frac{1}{4} D_1 = 60 t_1 $
- $ D_1 + \frac{3}{4} D_2 = 60 (t_1 + 4) $
Passo 7
Vamos resolver a primeira equação para $ t_1 $:
Passo 8
Substituímos $ t_1 $ na segunda equação:
Simplificando:
Passo 9
Vamos isolar as variáveis:
Podemos multiplicar ambos os lados por 4 para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 10
Então, a distância total entre Pirajuba e Quixajuba é $ 320 $ km.
Resposta
(D) 320 km