Uma casca condutora esférica e oca de raio a tem conexões filamentares feitas no topo ( r=a, \theta=0 ) e na base ( r=a, \theta=\pi ). Uma corrente contínua I circula para baixo pelo filamento superior e pela superfície esférica, saindo pelo filamento inferior. Calcule
\mathbf{H} em coordenadas esféricas (a) dentro e (b) fora da esfera.
\mathbf{H} em coordenadas esféricas (a) dentro e (b) fora da esfera.
Passo 1
O enunciado descreve uma casca condutora esférica oca de raio
que só tem conexões por filamentos nos polos norte
e sul
. Uma corrente contínua
entra no polo norte, percorre a superfície esférica e sai pelo polo sul. Precisamos achar o campo de intensidade magnética
em coordenadas esféricas (a) para
e (b) para
. O conteúdo usado será Ampère na forma integral e as condições de contorno de
junto a uma superfície de corrente superficial
.
Passo 2
Por simetria axial em
, a corrente na casca se reparte igualmente por todas as “meridianas” (linhas de
constante) indo de
a
. Cada meridiana carrega corrente
. A densidade de corrente superficial
ao longo da direção meridiana
satisfaz
Passo 3
Fora da casca
não há corrente volumétrica nem superficial, então
. Com simetria axial segue que
só pode ter componente em
e depende de
. A forma geral que satisfaz
é
onde
será diferente em
e
.
Passo 4
No interior
a finitude em
exige
, pois
explodiria se
. Logo
Passo 5
Na casca
há corrente superficial
. A condição de contorno é
Como
e
, temos
Igualando a
obtemos
. Portanto, para
:
Resposta
(a)
.
(b) .
(b) .