Uma casca condutora esférica e oca de raio a tem conexões filamentares feitas no topo ( r=a, \theta=0 ) e na base ( r=a, \theta=\pi ). Uma corrente contínua I circula para baixo pelo filamento superior e pela superfície esférica, saindo pelo filamento inferior. Calcule
\mathbf{H} em coordenadas esféricas (a) dentro e (b) fora da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca condutora esférica oca de raio a que só tem conexões por filamentos nos polos norte (r=a,\theta=0) e sul (r=a,\theta=\pi). Uma corrente contínua I entra no polo norte, percorre a superfície esférica e sai pelo polo sul. Precisamos achar o campo de intensidade magnética \mathbf{H} em coordenadas esféricas (a) para r<a e (b) para r>a. O conteúdo usado será Ampère na forma integral e as condições de contorno de \mathbf{H} junto a uma superfície de corrente superficial \mathbf{K}.

Passo 2

Por simetria axial em \varphi, a corrente na casca se reparte igualmente por todas as “meridianas” (linhas de \varphi= constante) indo de \theta=0 a \theta=\pi. Cada meridiana carrega corrente I/(2\pi). A densidade de corrente superficial \mathbf{K} ao longo da direção meridiana \ha_\theta satisfaz
K_\theta\,a\sin\theta\,\mathrm d\varphi=\frac{I}{2\pi}\,\mathrm d\varphi \quad\Longrightarrow\quad K_\theta=\frac{I}{2\pi\,a\sin\theta}\,.

Passo 3

Fora da casca r\neq a não há corrente volumétrica nem superficial, então \nabla\times\mathbf{H}=0. Com simetria axial segue que \mathbf{H} só pode ter componente em \ha_\varphi e depende de (r,\theta). A forma geral que satisfaz \nabla\times\mathbf{H}=0 é
\mathbf{H}(r,\theta)=H_\varphi(r,\theta)\,\ha_\varphi \quad\text{com}\quad H_\varphi(r,\theta)=\frac{C}{r\sin\theta}\,,
onde C será diferente em r<a e r>a.

Passo 4

No interior r<a a finitude em r\to0 exige C_{\rm in}=0, pois H_\varphi\propto 1/(r\sin\theta) explodiria se C_{\rm in}\neq0. Logo
\boxed{\mathbf{H}(r<a)=\mathbf{0}\,.}

Passo 5

Na casca r=a há corrente superficial \mathbf{K}=K_\theta\,\ha_\theta. A condição de contorno é
\ha_r\times\bigl(\mathbf{H}_{\rm out}-\mathbf{H}_{\rm in}\bigr) =\mathbf{K}\,.
Como \mathbf{H}_{\rm in}=0 e \ha_r\times\ha_\varphi=\ha_\theta, temos
H_\varphi^{\rm out}(a,\theta)\,\ha_\theta =K_\theta\,\ha_\theta \quad\Longrightarrow\quad H_\varphi^{\rm out}(a,\theta) =\frac{I}{2\pi\,a\sin\theta}\,.
Igualando a C_{\rm out}/(a\sin\theta) obtemos C_{\rm out}=I/(2\pi). Portanto, para r>a:
\boxed{\mathbf{H}(r>a) =\frac{I}{2\pi\,r\sin\theta}\,\ha_\varphi\,.}

Resposta

(a) \mathbf{H}(r<a)=\mathbf{0}.
(b) \mathbf{H}(r>a)=\dfrac{I}{2\pi\,r\sin\theta}\,\ha_\varphi.

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