Uma lâmina de corrente
\mathbf{K}=8 \mathbf{a}_{x}
\mathrm{A} / \mathrm{m} flui na região -2<y<2 no plano z=0. Calcule \mathbf{H} em P(0,0,3).

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina de corrente no plano z=0 com densidade de corrente superficial
\mathbf{K} = 8\,\mathbf{a}_x\quad(\mathrm{A/m})
ativa apenas na faixa -2<y<2. Precisamos calcular o vetor intensidade de campo magnético \mathbf{H} no ponto
P(0,0,3).
Para isso, vamos decompor a lâmina em fios infinitos paralelos ao eixo x, cada um com corrente diferencial dI=K\,dy, e usar a lei de Biot–Savart para fio retilíneo infinito.

Passo 2

Considere um filamento de corrente localizado em y=y', z=0, com dI=K\,dy' seguindo o eixo x. A posição do ponto P em relação ao filamento é
\mathbf{r}=(x_P-x')\,\mathbf{a}_x+(y_P-y')\,\mathbf{a}_y+(z_P-0)\,\mathbf{a}_z =(0,\,-y',\,3).
A distância perpendicular ao fio é
\rho=\sqrt{(-y')^2+3^2}=\sqrt{y'^2+9}.
O campo magnético de um fio infinito vale
d\mathbf{H} =\frac{dI}{2\pi\,\rho}\,\boldsymbol{\hat\varphi},
onde, no sistema de coordenadas cilíndricas em torno do eixo x,
\boldsymbol{\hat\varphi}=\frac{1}{\rho}(0,\,-3,\,y').

Passo 3

Substituindo dI=K\,dy' e o versor \boldsymbol{\hat\varphi}, o campo diferencial é
d\mathbf{H} =\frac{K\,dy'}{2\pi\,\rho}\,\frac{1}{\rho}(0,\,-3,\,y') =\frac{K}{2\pi}\Bigl(0,\,-\frac{3\,dy'}{y'^2+9},\,\frac{y'\,dy'}{y'^2+9}\Bigr).
Para obter \mathbf{H}, integramos y' de -2 a 2:
\mathbf{H} =\frac{K}{2\pi}\int_{y'=-2}^{2} \Bigl(0,\,-\frac{3}{y'^2+9},\,\frac{y'}{y'^2+9}\Bigr)dy'.

Passo 4

As componentes resultam em
H_y =-\frac{3K}{2\pi}\int_{-2}^{2}\frac{dy'}{y'^2+9}, \quad H_z =\frac{K}{2\pi}\int_{-2}^{2}\frac{y'\,dy'}{y'^2+9}.
Note que a segunda integral é ímpar em y' e, com limites simétricos, dá zero:
H_z=0.
Para H_y, use a primitiva \int dy'/(y'^2+9)=\frac{1}{3}\arctan(y'/3), logo
H_y =-\frac{3K}{2\pi}\Bigl[\frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{y'}{3}\bigr)\Bigr]_{-2}^{2} =-\frac{K}{2\pi}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)-\arctan\!\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)\Bigr] =-\frac{K}{\pi}\,2\arctan\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr).

Passo 5

Substituindo K=8 em \mathrm{A/m}, obtemos
\mathbf{H}(0,0,3) =-\frac{8}{\pi}\,2\arctan\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\,\mathbf{a}_y =-\frac{16}{\pi}\arctan\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\,\mathbf{a}_y \quad(\mathrm{A/m}).

Resposta

\boxed{\mathbf{H}(0,0,3) =-\frac{16}{\pi}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\,\mathbf{a}_y\quad(\mathrm{A/m}).}

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