Uma casca esférica tem raio interno r=r_{1} e externo r=r_{2}. A superfície interna está aquecida eletricamente a uma taxa de q_{1} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, e a superfície externa dissipa calor por convecçāo, com um coeficiente de transferência de calor h_{2}, para o ar ambiente à temperatura T_{\infty 2}. Escreva as condições de contorno.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica em regime permanente, com raio interno r_{1} e externo r_{2}. A superfície interna é aquecida por uma fonte elétrica que fornece um fluxo de calor de q_{1} (em \mathrm{W/m^2}), e a superfície externa dissipa calor por convecção ao ar ambiente à temperatura T_{\infty2} com coeficiente h_{2}. Para resolver a equação de condução de calor radial em coordenadas esféricas, precisamos de duas condições de contorno em r=r_{1} e r=r_{2}.

Passo 2

Na superfície interna r=r_{1} o fluxo de calor conduzido para fora deve ser igual ao fornecido pela fonte elétrica. Definindo o fluxo radial condutivo como q_{r}(r)=-k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}, temos
-k\,\left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right|_{r=r_{1}} = q_{1}.

Passo 3

Na superfície externa r=r_{2} o fluxo condutivo que sai deve coincidir com o fluxo convectivo para o ar. Pela lei de Newton do resfriamento, o fluxo convectivo é q_{\text{conv}}=h_{2}\bigl(T(r_{2})-T_{\infty2}\bigr). Assim,
-k\,\left.\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\right|_{r=r_{2}} = h_{2}\bigl(T(r_{2})-T_{\infty2}\bigr).

Resposta

Em r=r_{1}:
-k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\Big|_{r_{1}}=q_{1}.
Em r=r_{2}:
-k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}r}\Big|_{r_{2}}=h_{2}\bigl(T(r_{2})-T_{\infty2}\bigr).

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