Considere um tubo com raio interno r=r_{1} e raio externo r=r_{2}. Um gás quente, à temperatura T_{2}, flui no exterior, e um fluido frio flui no interior à temperatura T_{1}. Se os coeficientes de transparência de calor, para o interior e o exterior, são h_{1} e h_{2}, respectivamente, escreva as condiçōes de contorno nas superfícies interna e externa.

Passo 1

O enunciado descreve uma parede cilíndrica de raio interno r_1 e externo r_2, com condução de calor no estado estacionário no material da parede e convecção nos dois lados: interior com fluido à temperatura T_1 e coeficiente h_1, e exterior com fluido à temperatura T_2 e coeficiente h_2. Para formular as condições de contorno, vamos usar a lei de Fourier para condução radial e a lei de Newton do resfriamento.

Passo 2

Para condução radial a lei de Fourier em coordenadas cilíndricas dá o fluxo condutivo por unidade de área como
q_r(r) \;=\; -\,k\,\frac{dT}{dr}\,.
Pela lei de Newton do resfriamento, o fluxo convectivo na superfície vale
q_\mathrm{conv} \;=\; h\,\bigl[T(r)-T_\mathrm{f}\bigr],
onde T_\mathrm{f} é a temperatura do fluido adjacente à superfície.

Passo 3

Em r=r_1 o fluxo condutivo que sai da parede deve igualar o fluxo convectivo para o fluido interior. Assim, com T_\mathrm{f}=T_1 e h=h_1, temos
-\,k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_1} \;=\; h_1\bigl[T(r_1)-T_1\bigr]\,.

Passo 4

Em r=r_2 o fluxo condutivo que chega à face externa da parede se transfere por convecção ao fluido exterior. Com T_\mathrm{f}=T_2 e h=h_2, a condição é
-\,k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_2} \;=\; h_2\bigl[T(r_2)-T_2\bigr]\,.

Resposta

Em r=r_1:
-\,k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_1} = h_1\bigl[T(r_1)-T_1\bigr]
Em r=r_2:
-\,k\,\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_2} = h_2\bigl[T(r_2)-T_2\bigr]

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