A face interna de uma parede plana em z=0 é aquecida por um gás quente que flui à temperatura T_{1}, e a face externa em z=L é resfriada por um gás frio que flui à temperatura T_{2}. Os coeficiente de transferência de calor do lado quente e do lado frio são h_{1} e h_{2}, respectivamente. Escreva as condições de contorno nas faces interna e externa.

Passo 1

O problema envolve condução de calor unidimensional numa parede plana de 0 a L em z, com convecção nas duas faces. Do lado quente z=0 a temperatura do fluido é T_{1} e o coeficiente convectivo é h_{1}; do lado frio z=L a temperatura do fluido é T_{2} e o coeficiente convectivo é h_{2}. Para cada face usamos a condição de contorno convectiva genérica
-k\,\frac{\partial T}{\partial n}=h\,[T_{\text{s}}-T_{\infty}]
onde \partial/\partial n é a derivada na direção da normal exterior ao sólido, T_{\text{s}} a temperatura da superfície e T_{\infty} a do fluido.

Passo 2

Face interna z=0: a normal exterior ao sólido aponta para -z, logo
\frac{\partial T}{\partial n}\Big|_{z=0} =-\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=0}.
Substituindo na condição convectiva,
-k\biggl(-\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=0}\biggr) = h_{1}\bigl[T(0)-T_{1}\bigr] \quad\Longrightarrow\quad k\,\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=0} = h_{1}\bigl[T(0)-T_{1}\bigr].

Passo 3

Face externa z=L: a normal exterior ao sólido aponta para +z, então
\frac{\partial T}{\partial n}\Big|_{z=L} =\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=L},
e a condição convectiva fica
-k\,\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=L} = h_{2}\bigl[T(L)-T_{2}\bigr].

Resposta

Condições de contorno convectivas na parede:
k\,\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=0} = h_{1}\bigl[T(0)-T_{1}\bigr], \qquad -k\,\frac{\partial T}{\partial z}\Big|_{z=L} = h_{2}\bigl[T(L)-T_{2}\bigr].

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