Escreva a formulação matemática das condições de contorno da condução de calor em uma região retangular 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq b com:
(d) Na fronteira em y=b : calor fornecido para o meio a uma taxa q_{0} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado descreve a condução de calor em regime transiente ou estacionário numa placa retangular \{(x,y)\mid 0\le x\le a,\;0\le y\le b\}. Aqui queremos formular a condição de contorno na face superior y=b, onde é fornecido calor ao meio à taxa superficial constante q_{0} (unidade \mathrm{W/m^{2}}). Para isso vamos usar a Lei de Fourier e a definição de fluxo normal na fronteira.

Passo 2

Definimos o vetor normal unitário \mathbf{n} apontando para fora do domínio. Na fronteira y=b, o normal exterior é
\mathbf{n} = +\mathbf{e}_{y}.

Passo 3

Pela Lei de Fourier, o fluxo de calor por unidade de área na direção normal é
q_{n} \;=\;-k\,\frac{\partial T}{\partial n},
onde k é a condutividade térmica e \partial T/\partial n é a derivada direcional de T ao longo de \mathbf{n}.

Passo 4

Na face y=b, a derivada direcional coincide com a derivada em y, e o calor fornecido para dentro do meio (positivo) é q_{0}. Logo, impondo
q_{n}(x,b,t)=q_{0},
temos
-q\,_{0} \;=\;-k\,\frac{\partial T}{\partial y}\Bigl|_{y=b}=q_{0} \quad\Longrightarrow\quad -k\,\frac{\partial T}{\partial y}\Bigl|_{y=b}=q_{0}.

Resposta

-k\,\frac{\partial T}{\partial y}(x,b,t) \;=\; q_{0}, \qquad 0\le x\le a,\;t>0.

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