CASO VERÍDICO: Faça uma análise crítica das seguintes frases, ou trechos de frases que seguem abaixo. Observe que, em cada uma delas, ou definições ou terminologias matemáticas foram usadas incorretamente: ou não foi corretamente expresso o que se gostaria de comunicar, ou há alguma incoerência lógica na construção da frase. A maioria das frases, matematicamente erradas, são reais e foram extraídas de livros publicados no país e adotados em escolas do Ensino Fundamental ou Médio. Faça uma análise crítica das frases abaixo. (Algumas das frases apareceram na RPM Revista do Professor de Matemática-, a partir do número 40, na Seção Pisando na Bola.)
(a) “Uma tangente e uma secante se interceptam num ponto
externo à circunferência. A tangente e a secante medem, respectivamente, 6 e 8 cm . Determine a medida da parte externa da circunferência.”
(a) “Uma tangente e uma secante se interceptam num ponto
Passo 1
O enunciado (frase a ser analisada) diz: “Uma tangente e uma secante se interceptam num ponto
externo à circunferência. A tangente e a secante medem, respectivamente,
e
cm. Determine a medida da parte externa da circunferência.”
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- Há uma circunferência e um ponto
fora dela. - De
saem uma tangente e uma secante. - A tangente “mede”
cm. - A secante “mede”
cm.
O que o enunciado pede (literalmente): determinar “a medida da parte externa da circunferência” (frase estranha e ambígua — ver discussão adiante).
Observações iniciais de ambiguidade que precisam ser resolvidas antes de calcular qualquer coisa: - O que significa exatamente “a tangente mede
cm”? Normalmente medimos o comprimento do segmento de tangente que vai de ao ponto de tangência; esse segmento costuma ser chamado de segmento tangente. - O que significa “a secante mede
cm”? Pode significar (i) o comprimento total do segmento de secante que vai de até o segundo ponto de interseção com a circunferência, (ii) apenas a parte externa (segmento entre e o primeiro ponto de interseção), ou (iii) algum outro comprimento. A frase não diz. - “Parte externa da circunferência” é terminologia incorreta: fala-se em “segmento externo da secante” (ou “parte externa da secante”), não em “parte externa da circunferência”.
Passo 2
A ideia matemática correta e a fórmula que se aplica (explicação didática e por quê):
- Definições claras:
- Seja
um ponto fora da circunferência. A partir de traçam-se: - um segmento tangente que toca a circunferência num ponto
. O comprimento do segmento tangente será denotado por , isto é, é a distância de até . - uma secante que corta a circunferência em dois pontos
e , entrando por e saindo por . Denotemos por o comprimento do segmento externo da secante (distância de até ) e por o comprimento do segmento interno da secante dentro da circunferência (distância de até ). O comprimento total do segmento do ponto até é .
- um segmento tangente que toca a circunferência num ponto
- Seja
- Teorema (potência de um ponto, caso tangente–secante): Se de um ponto externo
saem um segmento tangente de comprimento e uma secante com segmento externo e segmento interno , então vale a relação
Explicação intuitiva e derivação curta (sem pular passos): desenhe a tangente
e a secante que cruza em
(mais próximo de
) e
(mais distante). Ao traçar os raios até os pontos de contato e usar semelhança de triângulos ou propriedades de potências, obtém-se a igualdade acima. O que a fórmula significa:
-
é igual ao produto entre a “parte externa” da secante e o comprimento total do segmento de secante desde até o ponto mais afastado . - Como usar essa fórmula em problemas:
- Se sabemos
e sabemos qual é exatamente a interpretação do número dado para a secante (se é ou ), podemos substituir na fórmula e resolver para a incógnita (por exemplo ). - Se a interpretação estiver ambígua, devemos testar cada possibilidade e verificar qual faz sentido (não dá comprimento negativo, respeita relações geométricas, etc.).
- Se sabemos
Passo 3
Aplicando ao caso concreto e discutindo as interpretações possíveis (passo a passo, sem pular contas):
- Vamos chamar
o comprimento do segmento tangente e a parte externa da secante, a parte interna, como no passo anterior. - O enunciado dá
(isto é plausível: "a tangente mede " costuma significar isso). Para a secante deu , mas precisamos decidir o que é esse : - Interpretação A (mais natural se quisermos um problema consistente): o número
é o comprimento total do segmento de secante de até o ponto mais distante . Ou seja, . - Substituindo na fórmula:
- Calculando:
- Resultado: a parte externa da secante vale
cm. - Verificação de consistência:
, logo a parte interna cm, positiva — tudo faz sentido geométrico.
- Interpretação B (alternativa que o leitor ingénuo pode entender): o número
é a medida da parte externa da secante, ou seja . - Substituindo na fórmula:
- Calculando:
- Resultado: isso daria
cm, um comprimento negativo, o que é impossível geometricamente. Logo essa interpretação leva a contradição e é inválida.
- Interpretação A (mais natural se quisermos um problema consistente): o número
- Conclusão lógica das interpretações: a única interpretação compatível com a geometria e com a fórmula é interpretar
como o comprimento total do segmento de secante . Assim o problema, para ter sentido, deve ser lido com essa interpretação — mas atenção: o texto original não escreveu isso de forma clara.
Passo 4
Críticas à redação original e como consertá-la (linguagem correta e não ambígua):
- Erro de terminologia: dizer “Determine a medida da parte externa da circunferência” é incorreto. Correção: deve-se pedir “Determine a medida da parte externa da secante” ou “Determine o comprimento do segmento externo da secante”.
- Ambiguidade de “a secante mede
cm”: é preciso especificar se é o comprimento do segmento externo da secante (entre e o ponto de entrada ) ou o comprimento total do segmento desde até o ponto mais distante . A redação correta e clara poderia ser: - “Uma tangente de comprimento
cm e uma secante interceptam-se em . A secante tem comprimento total (desde até o ponto mais distante de interseção) igual a cm. Calcule a parte externa da secante.” - Ou, se a intenção fosse outra, escrever explicitamente qual parte é
cm.
- “Uma tangente de comprimento
- Se o autor tivesse escrito como acima, o resultado numérico correto seria
cm (ver Passo 3).
Passo 5
Resumo pedagógico (como aplicar isso numa prova, passo a passo rápido para não errar):
- Sempre desenhe o ponto
, o ponto de tangência , e os dois pontos da secante. - Identifique qual segmento é dado: tangente (
), parte externa da secante ( ) ou comprimento total da secante ( ). Se o enunciado omitir, questione: se for ambíguo, veja se alguma interpretação gera contradição (comprimento negativo etc.). - Use a fórmula
substitua e resolva para a incógnita.
- Cheque sempre se os comprimentos encontrados são positivos e coerentes com as desigualdades geométricas (por exemplo,
).
Resposta
Frase mal redigida e ambígua; correção sugerida: pedir a “parte externa da secante”. Se interpretarmos
cm e o comprimento total da secante
cm, então a parte externa da secante é
cm).