CASO VERÍDICO: Faça uma análise crítica das seguintes frases, ou trechos de frases que seguem abaixo. Observe que, em cada uma delas, ou definições ou terminologias matemáticas foram usadas incorretamente: ou não foi corretamente expresso o que se gostaria de comunicar, ou há alguma incoerência lógica na construção da frase. A maioria das frases, matematicamente erradas, são reais e foram extraídas de livros publicados no país e adotados em escolas do Ensino Fundamental ou Médio. Faça uma análise crítica das frases abaixo. (Algumas das frases apareceram na RPM Revista do Professor de Matemática-, a partir do número 40, na Seção Pisando na Bola.)
(a) “Uma tangente e uma secante se interceptam num ponto P externo à circunferência. A tangente e a secante medem, respectivamente, 6 e 8 cm . Determine a medida da parte externa da circunferência.”

Passo 1

O enunciado (frase a ser analisada) diz: “Uma tangente e uma secante se interceptam num ponto P externo à circunferência. A tangente e a secante medem, respectivamente, 6 e 8 cm. Determine a medida da parte externa da circunferência.”
Informações dadas explicitamente:
  • Há uma circunferência e um ponto P fora dela.
  • De P saem uma tangente e uma secante.
  • A tangente “mede” 6 cm.
  • A secante “mede” 8 cm.
    O que o enunciado pede (literalmente): determinar “a medida da parte externa da circunferência” (frase estranha e ambígua — ver discussão adiante).
    Observações iniciais de ambiguidade que precisam ser resolvidas antes de calcular qualquer coisa:
  • O que significa exatamente “a tangente mede 6 cm”? Normalmente medimos o comprimento do segmento de tangente que vai de P ao ponto de tangência; esse segmento costuma ser chamado de segmento tangente.
  • O que significa “a secante mede 8 cm”? Pode significar (i) o comprimento total do segmento de secante que vai de P até o segundo ponto de interseção com a circunferência, (ii) apenas a parte externa (segmento entre P e o primeiro ponto de interseção), ou (iii) algum outro comprimento. A frase não diz.
  • “Parte externa da circunferência” é terminologia incorreta: fala-se em “segmento externo da secante” (ou “parte externa da secante”), não em “parte externa da circunferência”.

Passo 2

A ideia matemática correta e a fórmula que se aplica (explicação didática e por quê):
  • Definições claras:
    • Seja P um ponto fora da circunferência. A partir de P traçam-se:
      • um segmento tangente que toca a circunferência num ponto T. O comprimento do segmento tangente será denotado por t, isto é, t é a distância de P até T.
      • uma secante que corta a circunferência em dois pontos A e B, entrando por A e saindo por B. Denotemos por e o comprimento do segmento externo da secante (distância de P até A) e por i o comprimento do segmento interno da secante dentro da circunferência (distância de A até B). O comprimento total do segmento do ponto P até B é e+i.
  • Teorema (potência de um ponto, caso tangente–secante): Se de um ponto externo P saem um segmento tangente de comprimento t e uma secante com segmento externo e e segmento interno i, então vale a relação
t^{2}=e(e+i).
Explicação intuitiva e derivação curta (sem pular passos): desenhe a tangente PT e a secante que cruza em A (mais próximo de P) e B (mais distante). Ao traçar os raios até os pontos de contato e usar semelhança de triângulos ou propriedades de potências, obtém-se a igualdade acima. O que a fórmula significa:
  • t^{2} é igual ao produto entre a “parte externa” e da secante e o comprimento total e+i do segmento de secante desde P até o ponto mais afastado B.
  • Como usar essa fórmula em problemas:
    • Se sabemos t e sabemos qual é exatamente a interpretação do número dado para a secante (se é e ou e+i), podemos substituir na fórmula e resolver para a incógnita (por exemplo e).
    • Se a interpretação estiver ambígua, devemos testar cada possibilidade e verificar qual faz sentido (não dá comprimento negativo, respeita relações geométricas, etc.).

Passo 3

Aplicando ao caso concreto e discutindo as interpretações possíveis (passo a passo, sem pular contas):
  • Vamos chamar t o comprimento do segmento tangente e e a parte externa da secante, i a parte interna, como no passo anterior.
  • O enunciado dá t=6 (isto é plausível: "a tangente mede 6" costuma significar isso). Para a secante deu 8, mas precisamos decidir o que é esse 8:
    • Interpretação A (mais natural se quisermos um problema consistente): o número 8 é o comprimento total do segmento de secante de P até o ponto mais distante B. Ou seja, e+i=8.
      • Substituindo na fórmula:
      t^{2}=e(e+i)\quad\Longrightarrow\quad 6^{2}=e\cdot 8.
      • Calculando:
      36=8e\quad\Longrightarrow\quad e=\dfrac{36}{8}=\dfrac{9}{2}=4,5.
      • Resultado: a parte externa da secante vale 4,5 cm.
      • Verificação de consistência: e=4,5<8, logo a parte interna i=(e+i)-e=8-4,5=3,5 cm, positiva — tudo faz sentido geométrico.
    • Interpretação B (alternativa que o leitor ingénuo pode entender): o número 8 é a medida da parte externa da secante, ou seja e=8.
      • Substituindo na fórmula:
      6^{2}=8(8+i)\quad\Longrightarrow\quad 36=8(8+i).
      • Calculando:
      36=64+8i\quad\Longrightarrow\quad 8i=36-64=-28\quad\Longrightarrow\quad i=-3,5.
      • Resultado: isso daria i=-3,5 cm, um comprimento negativo, o que é impossível geometricamente. Logo essa interpretação leva a contradição e é inválida.
  • Conclusão lógica das interpretações: a única interpretação compatível com a geometria e com a fórmula é interpretar 8 como o comprimento total do segmento de secante e+i. Assim o problema, para ter sentido, deve ser lido com essa interpretação — mas atenção: o texto original não escreveu isso de forma clara.

Passo 4

Críticas à redação original e como consertá-la (linguagem correta e não ambígua):
  • Erro de terminologia: dizer “Determine a medida da parte externa da circunferência” é incorreto. Correção: deve-se pedir “Determine a medida da parte externa da secante” ou “Determine o comprimento do segmento externo da secante”.
  • Ambiguidade de “a secante mede 8 cm”: é preciso especificar se 8 é o comprimento do segmento externo da secante (entre P e o ponto de entrada A) ou o comprimento total do segmento desde P até o ponto mais distante B. A redação correta e clara poderia ser:
    • “Uma tangente de comprimento 6 cm e uma secante interceptam-se em P. A secante tem comprimento total (desde P até o ponto mais distante de interseção) igual a 8 cm. Calcule a parte externa da secante.”
    • Ou, se a intenção fosse outra, escrever explicitamente qual parte é 8 cm.
  • Se o autor tivesse escrito como acima, o resultado numérico correto seria e=4,5 cm (ver Passo 3).

Passo 5

Resumo pedagógico (como aplicar isso numa prova, passo a passo rápido para não errar):
  • Sempre desenhe o ponto P, o ponto de tangência T, e os dois pontos A,B da secante.
  • Identifique qual segmento é dado: tangente ( t), parte externa da secante ( e) ou comprimento total da secante ( e+i). Se o enunciado omitir, questione: se for ambíguo, veja se alguma interpretação gera contradição (comprimento negativo etc.).
  • Use a fórmula t^{2}=e(e+i),
substitua e resolva para a incógnita.
  • Cheque sempre se os comprimentos encontrados são positivos e coerentes com as desigualdades geométricas (por exemplo, e<e+i).

Resposta

Frase mal redigida e ambígua; correção sugerida: pedir a “parte externa da secante”. Se interpretarmos t=6 cm e o comprimento total da secante e+i=8 cm, então a parte externa da secante é e=\(4,5 cm).

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