O que é a célula unitária de uma rede cristalina.
É a menor subdivisão da rede cristalina, que apresenta todos os parâmetros de cristalinidade; retém as características de toda a rede. Existem 14 tipos de células unitárias, ou Redes de Bravais, agrupadas em 7 estruturas cristalinas.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar o que é a célula unitária de uma rede cristalina e relacionar a afirmação de que “é a menor subdivisão da rede que apresenta todos os parâmetros de cristalinidade; retém as características de toda a rede” e que “existem 14 tipos de células unitárias (Redes de Bravais) agrupadas em 7 sistemas cristalinos”.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vou usar:
  • A célula unitária é a menor subdivisão que representa toda a rede cristalina.
  • Existem 14 tipos de células unitárias chamados Redes de Bravais.
  • Essas 14 redes estão agrupadas em 7 sistemas cristalinos.

Passo 2

Definição clara e precisa da célula unitária. Vou explicar com calma e sem pular etapas.
Uma célula unitária é um par composto por: (a) um conjunto de vetores que definem um paralelogramo/paralelepípedo (os vetores-linha da célula) e (b) a(s) posição(ões) de átomo(s) associada(s) a cada ponto da rede (o chamado motif ou base). Quando esse bloco mínimo é repetido por todas as translações geradas pelos vetores da célula, ele reconstrói todo o cristal sem espaços vazios nem sobreposições. Em palavras mais simples: pegue o “tijolinho” mais simples que, repetido, reconstrói o prédio inteiro — esse tijolinho é a célula unitária.
Para falar de vetores uso a notação dos vetores de rede: \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3. Esses três vetores, colocados a partir de um mesmo ponto, geram toda a rede por combinações inteiras:
\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3\quad\text{com }n_1,n_2,n_3\in\mathbb{Z}.
Cada \mathbf{R} é um ponto de rede: deslocando a célula por \mathbf{R} você obtém uma cópia idêntica.

Passo 3

Parâmetros geométricos da célula unitária (o que são e o que significam).
Uma célula unitária é descrita por seis parâmetros: os comprimentos das arestas \;a=\|\mathbf{a}_1\|,\;b=\|\mathbf{a}_2\|,\;c=\|\mathbf{a}_3\|\; e os ângulos entre elas \;\alpha=\angle(\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3),\;\beta=\angle(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_3),\;\gamma=\angle(\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2). Esses seis números fixam a forma do paralelepípedo que é a célula (ou sua forma convencional). Eles são chamados constantes de rede. Toda propriedade que dependa da periodicidade e da geometria da rede passa por esses parâmetros.

Passo 4

Conceito de célula primitiva vs célula convencional e por que usamos as duas.
  • Célula primitiva: contém exatamente um ponto de rede por célula. É a menor célula cujo conteúdo translacionado gera a rede inteira. Em termos dos vetores, é possível escolher \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 tais que cada célula primitiva tem um só ponto de rede. Essa escolha é útil em teoria (ex.: cálculo de rede recíproca, bandas eletrônicas).
  • Célula convencional: escolhida para mostrar de modo mais claro a simetria do cristal (por exemplo, a forma cúbica nos cristais cúbicos). Pode conter mais de um ponto de rede (por isso não é primitiva), mas torna a visualização da simetria muito mais simples.
    Exemplo concreto (contando pontos de rede — isso ajuda na prova):
  • Cúbica simples (SC): 8 cantos, cada canto pertence a 8 cubos adjacentes, contribuição por canto =1/8. Total por célula =8\times\frac{1}{8}=1 ponto de rede.
  • Cúbica de corpo centrado (BCC): além dos 8 cantos, há 1 ponto no centro (que contribui 1). Total =8\times\frac{1}{8}+1=2 pontos de rede.
  • Cúbica de faces centradas (FCC): 8 cantos mais 6 centros de face (cada face pertence a 2 células), contribuição =6\times\frac{1}{2}=3. Total =8\times\frac{1}{8}+3=4 pontos de rede.
    Escrever esse tipo de contagem rapidamente na prova é um truque prático para identificar quantos átomos (ou bases) por célula existem.

Passo 5

O que são Redes de Bravais e por que existem 14.
Redes de Bravais são todas as possíveis redes tridimensionais distintas que têm a propriedade de que, ao escolher a célula unitária primitiva, toda posição de rede é equivalente por translação (ou seja, simetria de translação uniforme). Combinando os 7 sistemas cristalinos (que impõem restrições geométricas nos parâmetros a,b,c,\alpha,\beta,\gamma) com os possíveis tipos de centragem (primitiva P, base C/A/B, corpo centrado I, faces centradas F, e a centragem rhomboédrica R quando aplicável), algumas combinações geram redes idênticas ou impossíveis por simetria — por isso o total final, após eliminar duplicatas/impossibilidades, é 14. Estes 14 são os casos distintos de redes de pontos que cobrem todas as possibilidades de simetria translacional em 3D. Os 7 sistemas cristalinos são: triclinic, monoclinic, ortorrômbico, tetragonal, trigonal (rhomboédrico), hexagonal e cúbico.

Passo 6

Listinha prática dos 7 sistemas cristalinos e exemplos de Bravais (não precisa decorar tudo, mas é útil para prova).
  • Triclínico: só existe primitivo §.
  • Monoclínico: P e C.
  • Ortorrômbico: P, C, I.
  • Tetragonal: P e I.
  • Trigonal (rhomboédrico): R. (às vezes visto como oblíquo do hexagonal)
  • Hexagonal: P (a rede hexagonal primitiva com ângulos especiais).
  • Cúbico: P, I, F.
    Esses casos listados somam as 14 redes de Bravais quando você conta todas as possibilidades válidas de centragem por sistema. Para a prova, aprenda os exemplos mais comuns: SC (simples cúbico), BCC (cúbica corpo centrada), FCC (cúbica faces centradas), HCP (hexagonal compacta — formato hexagonal com 2 átomos por célula primitiva efetiva), etc.

Passo 7

Como relacionar a célula unitária com átomos reais (motif ou base) — uma receita prática para a prova.
Um cristal = rede + base (motif). A rede dá apenas os pontos de repetição; a base diz quais átomos (e suas posições relativas) ficam associadas a cada ponto de rede. Exemplos:
  • Se a rede é FCC e a base é um átomo em (0,0,0) e outro em (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}), você tem uma estrutura tipo NaCl ou similar (dependendo dos sítios).
  • Diamond: rede FCC + base de dois átomos deslocados por (\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}).
    Na prova, identifique primeiro a rede (pelos pontos de rede e simetria), depois escreva a base para saber quantos átomos e como estão dispostos.

Passo 8

Fórmulas úteis que caem na prova (expliquei o que cada símbolo significa).
  • Volume da célula unitária (importante para densidade, por exemplo):
V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3),
onde \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 são os vetores-lattice que definem a célula. Essa fórmula dá o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores.
  • Contagem de pontos de rede por célula: calcule a contribuição de cada sítio (canto, face, aresta, interior) e some. Exemplos já mostrados no passo 4.

Passo 9

Dicas práticas e intuição rápida (para quando estiver na prova e surtando menos):
  • Pergunte: quero a menor célula (primitiva) ou a que mostra a simetria (conventional)? Se for cálculo formal, use primitiva; se for descrever estrutura, use convencional.
  • Para contar átomos por célula, aplique: canto = 1/8, aresta = 1/4, face = 1/2, interior = 1.
  • Memorize os 3 cúbicos: SC (1 átomo por célula), BCC (2), FCC (4) — isso resolve muitos exercícios rápidos.
  • Lembre-se: “rede” é só pontos; “cristal” = rede + base.

Passo 10

Resumo final breve e incentivo (sério, você consegue!).
A célula unitária é o bloco básico repetido por translação que reconstrói todo o cristal; ela é descrita por três vetores ( \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3) e possivelmente por uma base de átomos. Existem 14 redes de Bravais distintas que cobrem todas as possibilidades de simetria de translação em 3D, agrupadas em 7 sistemas cristalinos. Na prova, identifique a rede, escolha célula primitiva ou convencional conforme a necessidade, conte os pontos de rede e use as fórmulas do passo 8 quando precisar de volume ou densidade.

Resposta

A célula unitária é a menor unidade geométrica (definida por três vetores-lattice \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3 e uma eventual base de átomos) que, repetida por translações inteiras, reconstrói toda a rede/cristal e retém todas as características de simetria e parâmetros da rede; existem 14 tipos possíveis de redes periódicas (Redes de Bravais), agrupadas em 7 sistemas cristalinos.

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