Uma central de atendimento funciona com dois servidores atendendo simultaneamente, de modo independente. O tempo de atendimento por chamada do servidor i, que chamaremos de Ti, tem distribuição exponencial de parâmetro lambdai, i=1,2, independentes entre si. Em um dado instante encontramos filas vazias e exatamente uma pessoa sendo atendida em cada servidor. Seja T=min T1, T2 o instante que o primeiro deles é liberado. Considerando que ambos começaram o atendimento ao mesmo tempo, determine a densidade de T.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos uma central de atendimento com dois servidores trabalhando ao mesmo tempo e de forma independente. Cada servidor tem um tempo de atendimento que segue uma distribuição exponencial com parâmetros lambda1 e lambda2. A gente quer descobrir qual a densidade de probabilidade do tempo T que leva para o primeiro dos dois servidores ficar livre, ou seja, o mínimo entre T1 e T2.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar que quando temos variáveis aleatórias independentes e exponenciais, o mínimo delas também segue uma distribuição exponencial. A taxa dessa nova distribuição é a soma das taxas individuais. Isso é uma propriedade bem útil da distribuição exponencial.

Passo 3

Então, no nosso caso, como T = minT1, T2 e T1 e T2 são independentes com parâmetros lambda1 e lambda2, respectivamente, a taxa para T será:
lambda = lambda1 + lambda2

Passo 4

Com essa taxa, podemos escrever a função densidade de T usando a fórmula da distribuição exponencial:
fT(t) = lambda e^-lambda t = (lambda1 + lambda2) e^-(lambda1 + lambda2) t

Resposta

A densidade de T é
fT(t) = (lambda1 + lambda2) , e^-(lambda1 + lambda2) t

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