1. Centroide Encontre o centroide da região delimitada superiormente pela superfície z=\sqrt{r}, dos lados pelo cilindro r=4 e inferiormente pelo plano x y.

Passo 1

O enunciado pede o centroide da região D delimitada por:
– acima pela superfície z=\sqrt{r},
– lateralmente pelo cilindro r=4,
– e abaixo pelo plano z=0.
O conteúdo aqui é cálculo de centroides em coordenadas cilíndricas. Vamos usar
\bar x=\frac{1}{V}\iiint_{D}x\,dV,\quad \bar y=\frac{1}{V}\iiint_{D}y\,dV,\quad \bar z=\frac{1}{V}\iiint_{D}z\,dV,
com dV=r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

Por simetria em \theta (a região é completa em 0\le\theta\le2\pi), temos
\bar x=0,\quad \bar y=0.

Passo 3

Calculamos o volume V:
V=\iiint_{D}dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{4}\!\int_{0}^{\sqrt{r}}r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{4}r\bigl[\;z\;\bigr]_{0}^{\sqrt{r}}dr =2\pi\int_{0}^{4}r\sqrt{r}\,dr.
Como \sqrt{r}=r^{1/2}, r\sqrt{r}=r^{3/2} e
\int_{0}^{4}r^{3/2}dr =\frac{2}{5}r^{5/2}\Big|_{0}^{4} =\frac{2}{5}\cdot 4^{5/2} =\frac{2}{5}\cdot 32 =\frac{64}{5}.
Logo
V=2\pi\cdot\frac{64}{5} =\frac{128\pi}{5}.

Passo 4

Calculamos o momento em z:
M_z=\iiint_{D}z\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{4}\!\int_{0}^{\sqrt{r}}z\,r\,dz\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{4}r\bigl[\tfrac{z^{2}}{2}\bigr]_{0}^{\sqrt{r}}dr =2\pi\int_{0}^{4}r\cdot\frac{r}{2}\,dr =\pi\int_{0}^{4}r^{2}\,dr.
E
\int_{0}^{4}r^{2}dr =\frac{r^{3}}{3}\Big|_{0}^{4} =\frac{64}{3},
portanto
M_z =\pi\cdot\frac{64}{3} =\frac{64\pi}{3}.

Passo 5

A coordenada \bar z do centroide é
\bar z=\frac{M_z}{V} =\frac{\tfrac{64\pi}{3}}{\tfrac{128\pi}{5}} =\frac{64\pi}{3}\cdot\frac{5}{128\pi} =\frac{320}{384} =\frac{5}{6}.

Resposta

(\bar x,\bar y,\bar z)=(0,0,\tfrac{5}{6}).

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