Numa certa cidade, o número de habitantes, num raio de r a partir do seu centro é dado por P® = k * 23r, em que k é constante e r > 0. Se há 98 304 habitantes num raio de 5 km do centro, quantos habitantes há num raio de 3 km do centro?
A) 890
B) 1230
C) 1536
D) 998

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma cidade onde o número de habitantes dentro de um raio $ r $ do centro é dado pela função $ P® = k \times 2^{3r} $. A gente sabe que dentro de um raio de 5 km tem 98.304 habitantes e precisa descobrir quantos habitantes tem dentro de um raio de 3 km. Para isso, vamos precisar usar propriedades de funções exponenciais e resolver para a constante $ k $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que descreve o número de habitantes: $ P® = k \times 2^{3r} $. Aqui, $ k $ é uma constante que precisamos encontrar. A base da potência é 2 elevada a $ 3r $, o que significa que o número de habitantes cresce de forma exponencial conforme o raio aumenta.

Passo 3

Sabemos que para $ r = 5 $ km, $ P(5) = 98.304 $. Vamos usar isso para encontrar $ k $:
r = 5
P(5) = 98.304
k

Passo 4

Agora, isolamos $ k $ dividindo ambos os lados da equação por 32.768:
k
k = 98.30432.768
Então, a constante $ k $ vale 3.

Passo 5

Com o valor de $ k $ encontrado, podemos agora calcular o número de habitantes para $ r = 3 $ km usando a função original:
k
r = 3
P(3) = 3 times 2^3 times 3
P(3) = 3 times 2^9

Resposta

C) 1.536

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