Uma certa planta geradora de potência opera com um reservatório fonte de calor a
e um reservatório sumidouro de calor a
. Ela possui uma eficiência térmica igual a 55% da eficiência térmica de uma máquina de Camot operando entre as mesmas temperaturas.
a) Qual é a eficiência térmica da planta?
b) Até qual valor deve a temperatura do reservatório fonte de calor ser elevada para aumentar a eficiência térmica da planta para 35%? Novamente, T/ é
do valor da máquina de Carnot.
a) Qual é a eficiência térmica da planta?
b) Até qual valor deve a temperatura do reservatório fonte de calor ser elevada para aumentar a eficiência térmica da planta para 35%? Novamente, T/ é
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma planta geradora de potência que opera entre dois reservatórios de calor: um fonte a
e um sumidouro a
. A eficiência térmica dessa planta é
da eficiência de uma máquina de Carnot operando nas mesmas condições de temperatura. Precisamos calcular:
a) A eficiência térmica da planta.
b) A temperatura que o reservatório fonte deve alcançar para que a eficiência térmica da planta seja
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente a eficiência de máquinas térmicas e a eficiência de Carnot.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é eficiência térmica. Ela indica o quanto da energia fornecida é convertida em trabalho útil. A fórmula geral para eficiência térmica (
) é:
No caso da máquina de Carnot, que é a mais eficiente possível entre duas temperaturas, a eficiência é dada por:
Onde:
-
é a temperatura do reservatório sumidouro. -
é a temperatura do reservatório fonte.
Importante: As temperaturas devem estar em Kelvin para usar essa fórmula.
Passo 3
Vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin. A conversão é:
Portanto:
- Temperatura do reservatório fonte:
- Temperatura do reservatório sumidouro:
Passo 4
Agora, vamos calcular a eficiência de Carnot com essas temperaturas:
Passo 5
Sabemos que a eficiência térmica da planta é
da eficiência de Carnot. Então:
Passo 6
Para a parte (b), queremos que a eficiência térmica da planta seja
. Novamente, como a planta opera a
da eficiência de Carnot, temos:
Isolando
:
Passo 7
Usando a fórmula da eficiência de Carnot para encontrar a nova temperatura do reservatório fonte (
):
Substituindo os valores:
Resolvendo para
:
Passo 8
Convertendo de volta para Celsius:
Resposta
a) A eficiência térmica da planta é aproximadamente
.
b) A temperatura do reservatório fonte deve ser elevada para cerca de
para que a eficiência térmica da planta alcance
.