Uma certa planta geradora de potência opera com um reservatório fonte de calor a 350^circ C e um reservatório sumidouro de calor a 30^circ C. Ela possui uma eficiência térmica igual a 55% da eficiência térmica de uma máquina de Camot operando entre as mesmas temperaturas.
a) Qual é a eficiência térmica da planta?
b) Até qual valor deve a temperatura do reservatório fonte de calor ser elevada para aumentar a eficiência térmica da planta para 35%? Novamente, T/ é 55 % do valor da máquina de Carnot.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma planta geradora de potência que opera entre dois reservatórios de calor: um fonte a 350^circ C e um sumidouro a 30^circ C. A eficiência térmica dessa planta é 55% da eficiência de uma máquina de Carnot operando nas mesmas condições de temperatura. Precisamos calcular:
a) A eficiência térmica da planta.
b) A temperatura que o reservatório fonte deve alcançar para que a eficiência térmica da planta seja 35%.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente a eficiência de máquinas térmicas e a eficiência de Carnot.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é eficiência térmica. Ela indica o quanto da energia fornecida é convertida em trabalho útil. A fórmula geral para eficiência térmica ( eta) é:
eta = Trabalho útilEnergia fornecida times 100% ú
No caso da máquina de Carnot, que é a mais eficiente possível entre duas temperaturas, a eficiência é dada por:
etaCarnot = 1 - TfrioTquente
Onde:
  • Tfrio é a temperatura do reservatório sumidouro.
  • Tquente é a temperatura do reservatório fonte.
Importante: As temperaturas devem estar em Kelvin para usar essa fórmula.

Passo 3

Vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin. A conversão é:
T(K) = T(°C) + 273
Portanto:
  • Temperatura do reservatório fonte: 350^circ C + 273 = 623,K
  • Temperatura do reservatório sumidouro: 30^circ C + 273 = 303,K

Passo 4

Agora, vamos calcular a eficiência de Carnot com essas temperaturas:
etaCarnot = 1 - 303623 approx 1 - 0,486 approx 0,514 ou 51,4%

Passo 5

Sabemos que a eficiência térmica da planta é 55% da eficiência de Carnot. Então:
etaplanta = 0,55 times etaCarnot = 0,55 times 51,4% approx 28,3%

Passo 6

Para a parte (b), queremos que a eficiência térmica da planta seja 35%. Novamente, como a planta opera a 55% da eficiência de Carnot, temos:
0,35 = 0,55 times etaCarnot nova
Isolando etaCarnot nova:
etaCarnot nova = 0,350,55 approx 0,6364 ou 63,64%

Passo 7

Usando a fórmula da eficiência de Carnot para encontrar a nova temperatura do reservatório fonte ( Tquente nova):
etaCarnot nova = 1 - TfrioTquente nova
Substituindo os valores:
0,6364 = 1 - 303Tquente nova
Resolvendo para Tquente nova:
303Tquente nova = 1 - 0,6364 = 0,3636
Tquente nova = 3030,3636 approx 832,5,K

Passo 8

Convertendo de volta para Celsius:
Tquente nova = 832,5,K - 273 = 559,5^circ C

Resposta

a) A eficiência térmica da planta é aproximadamente 28,3%.
b) A temperatura do reservatório fonte deve ser elevada para cerca de 560^circ C para que a eficiência térmica da planta alcance 35%.

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