Em uma certa plantação, a produção, P, de feijão depende da quantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa por : P = -3q² + 90q + 525. Avalie as assertivas a seguir, quanto a Produção P:
I. Os coeficientes dos termos da função são a = -3, b = 525 e c = 90.
II. A concavidade é voltada para cima, pois, a < 0.
III. A parábola corta o eixo q quando P = 0, o que deriva em duas raízes iguais reais, q1 e q2= 35.
IV. O vértice da parábola é dado pelo ponto V = (15; 1200). É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) II e III, apenas.
D) IV, apenas.
E) I, II, III e IV.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema envolvendo uma função quadrática que relaciona a produção de feijão § com a quantidade de fertilizante usada (q). A função é dada por:
P = -3q² + 90q + 525 ²
Nosso objetivo é avaliar quatro afirmações sobre essa função e identificar quais estão corretas. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções quadráticas, como coeficientes, concavidade, raízes e vértice.

Passo 2

Afirmação I: Os coeficientes dos termos da função são a = -3, b = 525 e c = 90.
Vamos lembrar que uma função quadrática geral é:
P = aq² + bq + c ²
Comparando com a função dada:
P = -3q² + 90q + 525 ²
Aqui, podemos identificar:
  • $ a = -3 $
  • $ b = 90 $
  • $ c = 525 $
A afirmação I diz que $ b = 525 $ e $ c = 90 $, o que está invertido. Então, essa afirmação está errada.

Passo 3

Afirmação II: A concavidade é voltada para cima, pois $ a < 0 $.
A concavidade de uma parábola depende do sinal do coeficiente $ a $:
  • Se $ a > 0 $, a concavidade é para cima.
  • Se $ a < 0 $, a concavidade é para baixo.
No nosso caso, $ a = -3 $, que é menor que zero. Portanto, a concavidade é para baixo, não para cima. A afirmação II está errada.

Passo 4

Afirmação III: A parábola corta o eixo $ q $ quando $ P = 0 $, o que deriva em duas raízes iguais reais, $ q₁ $ e $ q₂ = 35 $.
Para encontrar onde a parábola corta o eixo $ q $, resolvemos $ P = 0 $:
q ²
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
P = 0 ²
Substituindo:
  • $ a = -3 $
  • $ b = 90 $
  • $ c = 525 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
q₁ ²²
Como $ \Delta > 0 $, temos duas raízes reais e distintas.
Calculando as raízes:
q₂ = 35
q
Então:
  • $ q₁ = \frac{-90 + 120}{-6} = \frac{30}{-6} = -5 $
  • $ q₂ = \frac{-90 - 120}{-6} = \frac{-210}{-6} = 35 $
Portanto, as raízes são $ q₁ = -5 $ e $ q₂ = 35 $, que são distintas. A afirmação diz que são raízes iguais, o que está errado.

Passo 5

Afirmação IV: O vértice da parábola é dado pelo ponto $ V = (15; 1200) $.
O vértice de uma parábola $ P = aq² + bq + c $ tem coordenadas:
V = (15; 1200)
P = aq² + bq + c
Calculando:
qv = -b2a
Agora, calculamos $ P_v $:
Pv = P(qv) ²
qv = -902(-3) = -90-6 = 15
Pv
Pv = -3(15)² + 90(15) + 525
Então, o vértice é $ V = (15; 1200) $, o que confirma a afirmação IV como correta.

Resposta

Apenas a afirmação IV está correta. Portanto, a resposta correta é a alternativa D.

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