Certo transformador monofásico, operando em vazio, é modelado pela seguinte equação: v(t)=Ri(t)+ L d i / d t. As grandezas v(t), i(t), R e L são respectivamente: a tensão, a corrente, a resistência e a indutância do primário desse transformador. No instante t=0, a corrente é nula e o transformador é alimentado com uma tensão, em Volts, dada pela seguinte expressão: v(t)=100 cos (377 t). Determine a corrente i(t) no transformador, para R=1 Omega e L=10 mH.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que temos um transformador monofásico em vazio cujo primário satisfaz a equação diferencial de 1ª ordem
v(t)=R,i(t)+L,di(t)dt
onde
- é a tensão de alimentação,
- e .
Conteúdo que vamos usar: EDO linear de 1ª ordem, resolver pela soma da solução homogênea (transiente) e da solução particular (regime permanente), e aplicar condição inicial .

Passo 2

Primeiro a gente coloca a EDO na forma padrão:
didt + RL,i(t) = v(t)L
Substituindo didt + 100,i(t) = 100cos(377t)0,01 = 10000cos(377t) e , fica

Passo 3

Agora a parte homogênea (quando dihdt + 100,ih = 0) é
ih(t)=C,e^-100t,
que tem solução
com constante a determinar pela condição inicial.

Passo 4

Pra achar a solução particular ip(t)=Acos(377t)+Bsin(377t) a gente imagina um chute do tipo senóide, porque a entrada é (-377Asin+377Bcos) +100(Acos+ Bsin) =10000cos . Então supomos
(377B+100A)cos(377t)+(-377A+100B)sin(377t) =10000cos(377t)+0cdotsin(377t)
Derivando:
377B+100A=10000, -377A+100B=0 .
Substituindo na EDO:
377(3,77A)+100A=10000 Rightarrow (1421,29+100)A=10000 Rightarrow 1521,29,A=10000
Agrupando termos em Rightarrow Aapprox6,573, B=3,77times6,573approx24,79 e ip(t)approx6,573cos(377t)+24,79sin(377t):
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem .
Substituindo na primeira:
Então

Passo 5

A solução geral é
i(t)=ih(t)+ip(t)=C,e^-100t+6,573cos(377t)+24,79sin(377t)
Usando 0 = Ccdot e^0 +6,573cos0+24,79sin0 = C +6,573times1 +0 ;Rightarrow; C=-6,573 :

Resposta

A corrente no primário do transformador é
boxed i(t)=6,573cos(377t)+24,79sin(377t);-;6,573,e^-100t

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