(CESPE) Considere as seguintes definições de conjuntos, feitas a partir de um conjunto de empresas, E, não vazio.
X= conjunto das empresas de E tais que “se a empresa não entrega o que promete, algum de seus clientes estará insatisfeito”;
A= conjunto das empresas de E tais que “a empresa não entrega o que promete”;
B= conjunto das empresas de E tais que “algum cliente da empresa está insatisfeito”.
Tendo como referência esses conjuntos, determine o valor lógico da seguinte proposição:
\text { Se } A \subset B \text {, então } X=E \text {. }ã

Passo 1

O enunciado define um conjunto não vazio E de empresas e três subconjuntos de E:
A=\{\,x\in E\mid\text{“\(x não entrega o que promete”}})
B=\{\,x\in E\mid\text{“algum cliente de \(x está insatisfeito”}})
X=\{\,x\in E\mid\text{“se \(x\notin A então …” não; exatamente “se x\in A então x\in B”}})
A proposição a avaliar é:
\text{Se }A\subset B\text{, então }X=E.ã
O conteúdo usado será teoria de conjuntos e lógica (condicional e suas equivalências).

Passo 2

Para reescrever X em termos de A e B, note que a condição “se x\in A então x\in B” é um condicional lógico p\to q, que equivale a \lnot p\lor q. Assim,
X = \{\,x\in E\mid x\in A\implies x\in B\} = \{\,x\in E\mid x\notin A\lor x\in B\}.
Em linguagem de conjuntos isso dá
X = (E\setminus A)\,\cup\,B.

Passo 3

Suponha agora a hipótese A\subset B. Isso significa que todo elemento de A também pertence a B, ou seja, A\subset B implica A\subseteq B. Vamos mostrar que sob essa hipótese todo x\in E pertence a X.

Passo 4

Seja x um elemento qualquer de E. Dois casos surgem:
  1. Se x\notin A, então x\in E\setminus A\subset X por definição de X.
  2. Se x\in A, como A\subseteq B, segue x\in B, logo x\in B\subset X.
    Em ambas as situações x\in X.

Passo 5

Como x foi um elemento arbitrário de E e mostramos sempre x\in X, concluímos que E\subseteq X. Mas por construção X\subseteq E. Portanto X=E.

Resposta

A proposição é verdadeira.

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