(CESPE) Considere as seguintes definições de conjuntos, feitas a partir de um conjunto de empresas,
, não vazio.
conjunto das empresas de
tais que “se a empresa não entrega o que promete, algum de seus clientes estará insatisfeito”;
conjunto das empresas de
tais que “a empresa não entrega o que promete”;
conjunto das empresas de
tais que “algum cliente da empresa está insatisfeito”.
Tendo como referência esses conjuntos, determine o valor lógico da seguinte proposição:
Tendo como referência esses conjuntos, determine o valor lógico da seguinte proposição:
Passo 1
O enunciado define um conjunto não vazio
de empresas e três subconjuntos de
:
– não entrega o que promete”}})
– está insatisfeito”}})
– então …” não; exatamente “se então
”}})
A proposição a avaliar é:
– não entrega o que promete”}})
– está insatisfeito”}})
– então …” não; exatamente “se
A proposição a avaliar é:
O conteúdo usado será teoria de conjuntos e lógica (condicional e suas equivalências).
Passo 2
Para reescrever
em termos de
e
, note que a condição “se
então
” é um condicional lógico
, que equivale a
. Assim,
Em linguagem de conjuntos isso dá
Passo 3
Suponha agora a hipótese
. Isso significa que todo elemento de
também pertence a
, ou seja,
implica
. Vamos mostrar que sob essa hipótese todo
pertence a
.
Passo 4
Seja
um elemento qualquer de
. Dois casos surgem:
- Se
, então por definição de . - Se
, como , segue , logo .
Em ambas as situações.
Passo 5
Como
foi um elemento arbitrário de
e mostramos sempre
, concluímos que
. Mas por construção
. Portanto
Resposta
A proposição é verdadeira.