A chave foi colocada na posição b em t=0 depois de permanecer por um longo tempo na posição a.
a. Determine
\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{c}}\left(\boldsymbol{0}^{+}\right);
b. Determine
\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{c}}(\infty);
c. Determine a constante de tempo (
\boldsymbol{\tau} )
d. Determine
\boldsymbol{i}\left(\boldsymbol{0}^{+}\right);
e. Determine
\boldsymbol{v}_{\boldsymbol{c}}(\boldsymbol{t}) para
\boldsymbol{t} \geq \mathbf{0}^{+};
f. Determine
\boldsymbol{i}(\boldsymbol{t}) para
\boldsymbol{t} \geq \mathbf{0}^{+};

Passo 1

O circuito e os dados importantes (peguei os valores da figura) são:
  • Fonte esquerda: 120\\ \text{V} conectada por 10\\ \text{k}\Omega ao ponto a.
  • Fonte direita: 200\\ \text{V} conectada por 50\\ \text{k}\Omega ao nó superior direito.
  • Do mesmo nó superior direito há um resistor 150\\ \text{k}\Omega até o terra (polo negativo comum).
  • Entre o ponto b (contato do interruptor quando na posição b) e o nó superior direito há 12{,}5\\ \text{k}\Omega.
  • O capacitor tem capacitância 40\\ \text{nF} e está entre o nó do interruptor (ponto móvel) e o terra; a polaridade indicada tem o terminal positivo no topo.
  • Condição inicial: o interruptor ficou por muito tempo em a (logo antes de t=0 o capacitor está em regime permanente com a conectado). Em t=0 o interruptor muda para b.
    As perguntas pedidas:
    a. v_C(0^+)
    b. v_C(\infty)
    c. constante de tempo \tau
    d. i(0^+) (corrente pelo capacitor, seta para baixo na figura)
    e. v_C(t) para t\ge0^+
    f. i(t) para t\ge0^+

Passo 2

Determinar v_C(0^+). Conceito importante: a tensão no capacitor não pode mudar instantaneamente (salto de tensão instantâneo exigiria corrente infinita). Portanto
v_C(0^+)=v_C(0^-).
Como o interruptor ficou por muito tempo em a, o capacitor estava em regime DC com o ramo direito desconectado. No regime DC o capacitor é circuito aberto, logo não circula corrente pelo resistor 10\\ \text{k}\Omega e não há queda de tensão nele; assim o nó do capacitor ficou à mesma tensão da fonte esquerda:
v_C(0^-)=120\\ \text{V}.
Portanto
v_C(0^+)=120\\ \text{V}.

Passo 3

Determinar v_C(\infty) (tensão final quando o interruptor foi para b e se passou tempo longo). Em regime DC com o capacitor aberto não há corrente através da rama que liga o nó do capacitor ao nó superior direito via 12{,}5\\ \text{k}\Omega, mas como as extremidades desse resistor estão conectadas, a tensão no nó do capacitor no equilíbrio será igual à tensão do nó superior direito (queda nula no 12{,}5\\ \text{k}\Omega quando a corrente é zero). Então basta encontrar a tensão do nó superior direito pela divisão de tensão entre 50\\ \text{k}\Omega (para a fonte 200\\ \text{V}) e 150\\ \text{k}\Omega (para o terra). Aplicando divisão:
v_{\text{nó}} = 200\\ \text{V}\cdot\frac{150\\ \text{k}\Omega}{50\\ \text{k}\Omega+150\\ \text{k}\Omega} =200\cdot\frac{150}{200}=150\\ \text{V}.ó
Logo
v_C(\infty)=150\\ \text{V}.

Passo 4

Determinar a constante de tempo \tau. Método: para a resposta do capacitor após a comutação considera-se a resistência equivalente de Thevenin vista pelos terminais do capacitor com as fontes independentes desativadas (fontes de tensão curtas). Procedimento passo a passo:
  • Desativa-se a fonte de 200\\ \text{V} e a de 120\\ \text{V} (curto-circuito para cada uma).
  • O nó superior direito fica ligado a terra por dois resistores em paralelo: 50\\ \text{k}\Omega (agora entre nó e terra, pois a fonte virou curto) e 150\\ \text{k}\Omega. A resistência equivalente desses dois em paralelo é
R_{50\parallel150}=\frac{50\cdot150}{50+150}\\ \text{k}\Omega=\frac{7500}{200}\\ \text{k}\Omega=37{,}5\\ \text{k}\Omega.
  • Essa resistência em paralelo está em série com o 12{,}5\\ \text{k}\Omega que liga o nó do capacitor ao nó superior direito, logo a resistência de Thevenin vista pelo capacitor é
R_{\text{th}}=12{,}5\\ \text{k}\Omega + 37{,}5\\ \text{k}\Omega = 50\\ \text{k}\Omega.
  • A constante de tempo é
\tau = R_{\text{th}}\,C = 50\\ \text{k}\Omega \cdot 40\\ \text{nF}.
Calcule:
\tau = 50{,}000\\ \Omega \cdot 40\times10^{-9}\\ \text{F} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \text{s} = 2\\ \text{ms}.

Passo 5

Determinar i(0^+). Usamos a equivalência de Thevenin: para t\ge0^+ o capacitor vê uma fonte de Thevenin V_{\text{th}} e R_{\text{th}} que já calculei. O open-circuit (sem capacitor) mostra que a tensão em circuito aberto no terminal onde o capacitor vai ficar é a tensão do nó superior direito, que calculamos em 150\\ \text{V}. Assim V_{\text{th}}=150\\ \text{V} e R_{\text{th}}=50\\ \text{k}\Omega. A corrente inicial (no instante imediatamente após comutar) é dada por
i(0^+)=\frac{V_{\text{th}}-v_C(0^+)}{R_{\text{th}}}.
Substituindo valores:
i(0^+)=\frac{150-120}{50{,}000}=\frac{30}{50{,}000}=0{,}0006\\ \text{A}=0{,}6\\ \text{mA}.
Sentido: como V_{\text{th}}>v_C(0^+), a corrente entra pelo terminal superior do capacitor e sai pelo inferior ao terra — isto corresponde ao sentido para baixo indicado na figura. (Verificação alternativa: i(0^+)=C\left.\dfrac{dv}{dt}\right|_{0^+} leva ao mesmo resultado após resolver a resposta completa.)

Passo 6

Determinar v_C(t) para t\ge0^+. Teoria rápida: a equação diferencial do circuito equivalente Thevenin é
C\frac{dv_C}{dt} + \frac{v_C}{R_{\text{th}}} = \frac{V_{\text{th}}}{R_{\text{th}}}.
Solução geral para resposta a degrau (sistema de 1ª ordem) é
v_C(t)=V_{\infty} +\big(v_C(0^+)-V_{\infty}\big)e^{-t/\tau},
onde V_{\infty}=V_{\text{th}} (tensão final) e \tau=R_{\text{th}}C. Substituindo V_{\infty}=150\\ \text{V}, v_C(0^+)=120\\ \text{V} e \tau=2\\ \text{ms}:
v_C(t)=150 + (120-150)e^{-t/0{,}002} =150 - 30\,e^{-t/0{,}002}\\ \text{V},\qquad t\ge0^+.

Passo 7

Determinar i(t) para t\ge0^+. Podemos usar duas formas equivalentes:
  1. Pelo circuito de Thevenin:
i(t)=\frac{V_{\text{th}}-v_C(t)}{R_{\text{th}}}.
Substituindo v_C(t) obtemos
i(t)=\frac{150-(150-30e^{-t/0{,}002})}{50{,}000} =\frac{30\,e^{-t/0{,}002}}{50{,}000}=0{,}0006\,e^{-t/0{,}002}\\ \text{A}.
  1. Pela relação do capacitor:
i(t)=C\frac{dv_C}{dt}.
Derivando v_C(t)=150-30e^{-t/\tau} dá o mesmo resultado:
i(t)=C\left( \frac{30}{\tau} e^{-t/\tau} \right) =40\times10^{-9}\cdot\frac{30}{2\times10^{-3}} e^{-t/0{,}002}=0{,}0006 e^{-t/0{,}002}\\ \text{A}.
Portanto
i(t)=0{,}6\\ \text{mA}\; e^{-t/0{,}002},\qquad t\ge0^+,
no sentido para baixo (positivo conforme a seta da figura).

Resposta

a) v_C(0^+)=120\\ \text{V}
b) v_C(\infty)=150\\ \text{V}
c) \tau=2\\ \text{ms}
d) i(0^+)=0{,}6\\ \text{mA} (para baixo)
e) v_C(t)=150-30\,e^{-t/0{,}002}\\ \text{V},\quad t\ge0^+
f) i(t)=0{,}6\\ \text{mA}\;e^{-t/0{,}002},\quad t\ge0^+

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