A chave foi colocada na posição b em t=0 depois de permanecer por um longo tempo na posição a.
a. Determine \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{c}}\left(\boldsymbol{0}^{+}\right);
b. Determine \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{c}}(\infty);
c. Determine a constante de tempo ( \boldsymbol{\tau} )
d. Determine \boldsymbol{i}\left(\boldsymbol{0}^{+}\right);
e. Determine \boldsymbol{v}_{\boldsymbol{c}}(\boldsymbol{t}) para \boldsymbol{t} \geq \mathbf{0}^{+};
f. Determine \boldsymbol{i}(\boldsymbol{t}) para \boldsymbol{t} \geq \mathbf{0}^{+};
Passo 1
O circuito e os dados importantes (peguei os valores da figura) são:
Fonte esquerda: 120\\ \text{V} conectada por 10\\ \text{k}\Omega ao ponto a.
Fonte direita: 200\\ \text{V} conectada por 50\\ \text{k}\Omega ao nó superior direito.
Do mesmo nó superior direito há um resistor 150\\ \text{k}\Omega até o terra (polo negativo comum).
Entre o ponto b (contato do interruptor quando na posição b) e o nó superior direito há 12{,}5\\ \text{k}\Omega.
O capacitor tem capacitância 40\\ \text{nF} e está entre o nó do interruptor (ponto móvel) e o terra; a polaridade indicada tem o terminal positivo no topo.
Condição inicial: o interruptor ficou por muito tempo em a (logo antes de t=0 o capacitor está em regime permanente com a conectado). Em t=0 o interruptor muda para b.
As perguntas pedidas:
a. v_C(0^+)
b. v_C(\infty)
c. constante de tempo \tau
d. i(0^+) (corrente pelo capacitor, seta para baixo na figura)
e. v_C(t) para t\ge0^+
f. i(t) para t\ge0^+
Passo 2
Determinar v_C(0^+). Conceito importante: a tensão no capacitor não pode mudar instantaneamente (salto de tensão instantâneo exigiria corrente infinita). Portanto
v_C(0^+)=v_C(0^-).
Como o interruptor ficou por muito tempo em a, o capacitor estava em regime DC com o ramo direito desconectado. No regime DC o capacitor é circuito aberto, logo não circula corrente pelo resistor 10\\ \text{k}\Omega e não há queda de tensão nele; assim o nó do capacitor ficou à mesma tensão da fonte esquerda:
v_C(0^-)=120\\ \text{V}.
Portanto
v_C(0^+)=120\\ \text{V}.
Passo 3
Determinar v_C(\infty) (tensão final quando o interruptor foi para b e se passou tempo longo). Em regime DC com o capacitor aberto não há corrente através da rama que liga o nó do capacitor ao nó superior direito via 12{,}5\\ \text{k}\Omega, mas como as extremidades desse resistor estão conectadas, a tensão no nó do capacitor no equilíbrio será igual à tensão do nó superior direito (queda nula no 12{,}5\\ \text{k}\Omega quando a corrente é zero). Então basta encontrar a tensão do nó superior direito pela divisão de tensão entre 50\\ \text{k}\Omega (para a fonte 200\\ \text{V}) e 150\\ \text{k}\Omega (para o terra). Aplicando divisão:
Determinar a constante de tempo \tau. Método: para a resposta do capacitor após a comutação considera-se a resistência equivalente de Thevenin vista pelos terminais do capacitor com as fontes independentes desativadas (fontes de tensão curtas). Procedimento passo a passo:
Desativa-se a fonte de 200\\ \text{V} e a de 120\\ \text{V} (curto-circuito para cada uma).
O nó superior direito fica ligado a terra por dois resistores em paralelo: 50\\ \text{k}\Omega (agora entre nó e terra, pois a fonte virou curto) e 150\\ \text{k}\Omega. A resistência equivalente desses dois em paralelo é
Essa resistência em paralelo está em série com o 12{,}5\\ \text{k}\Omega que liga o nó do capacitor ao nó superior direito, logo a resistência de Thevenin vista pelo capacitor é
Determinar i(0^+). Usamos a equivalência de Thevenin: para t\ge0^+ o capacitor vê uma fonte de Thevenin V_{\text{th}} e R_{\text{th}} que já calculei. O open-circuit (sem capacitor) mostra que a tensão em circuito aberto no terminal onde o capacitor vai ficar é a tensão do nó superior direito, que calculamos em 150\\ \text{V}. Assim V_{\text{th}}=150\\ \text{V} e R_{\text{th}}=50\\ \text{k}\Omega. A corrente inicial (no instante imediatamente após comutar) é dada por
Sentido: como V_{\text{th}}>v_C(0^+), a corrente entra pelo terminal superior do capacitor e sai pelo inferior ao terra — isto corresponde ao sentido para baixo indicado na figura. (Verificação alternativa: i(0^+)=C\left.\dfrac{dv}{dt}\right|_{0^+} leva ao mesmo resultado após resolver a resposta completa.)
Passo 6
Determinar v_C(t) para t\ge0^+. Teoria rápida: a equação diferencial do circuito equivalente Thevenin é
onde V_{\infty}=V_{\text{th}} (tensão final) e \tau=R_{\text{th}}C. Substituindo V_{\infty}=150\\ \text{V}, v_C(0^+)=120\\ \text{V} e \tau=2\\ \text{ms}: