Checkpoint 5.6.1

Um capacitor de placas paralelas de 1,0 \mu \mathrm{~F} com um espaçamento de placas de 50 \mu \mathrm{~m} é carregado até o limiar de ruptura. (a) Se o campo elétrico no ar entre as placas do capacitor é de 3,0 \times 10^{6} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, quanta energia é armazenada no capacitor? Expresse sua resposta em joules. (b) Quão alto você deve levantar este livro ( m=2 \mathrm{~kg} ) para aumentar a energia potencial gravitacional do sistema Terra-livro pela mesma quantidade?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas com capacitância C=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{F} e distância entre placas d=50\times10^{-6}\,\mathrm{m}. O capacitor é carregado até que o campo elétrico atinja E=3{,}0\times10^{6}\,\mathrm{V/m}. Na parte (a) queremos a energia elétrica armazenada, usando a relação entre campo e tensão e a fórmula da energia em capacitor. Na parte (b) queremos a altura h para elevar um livro de massa m=2\,\mathrm{kg} ganhando a mesma energia em potencial gravitacional.

Passo 2

Calcular a tensão máxima V entre as placas usando
V = E\,d.
Substituindo E=3{,}0\times10^{6}\,\mathrm{V/m} e d=50\times10^{-6}\,\mathrm{m}, temos
V = (3{,}0\times10^{6})(50\times10^{-6}) = 150\:\mathrm{V}.

Passo 3

Calcular a energia armazenada U no capacitor pela fórmula
U = \tfrac12\,C\,V^2.
Usando C=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{F} e V=150\,\mathrm{V},
U = \tfrac12\,(1{,}0\times10^{-6})\,(150)^2 = \tfrac12\times1{,}0\times10^{-6}\times22500 =1{,}125\times10^{-2}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Determinar a altura h tal que a energia potencial gravitacional \Delta U_g=mgh seja igual a U. Assim,
mgh = U \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{U}{m\,g}.
Com m=2\,\mathrm{kg}, g=9{,}8\,\mathrm{m/s^2} e U=1{,}125\times10^{-2}\,\mathrm{J},
h = \frac{1{,}125\times10^{-2}}{2\times9{,}8} \approx5{,}7\times10^{-4}\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) 1{,}125\times10^{-2}\,\mathrm{J}
(b) 5,7\times10^{-4}\,\mathrm{m}

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