Um cilindro é comprimido lateralmente, e ao mesmo tempo, alongado de forma que o raio da base decresce a uma axa de
e a altura do cilindro aumenta a uma taxa de
. Encontre a taxa de variação do volume do cilindro quando o raio da base mede 6 cm , e a altura 8 cm .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem um cilindro que está mudando de forma: o raio da base está diminuindo a uma taxa de
e a altura está aumentando a uma taxa de
. A pergunta é: qual é a taxa de variação do volume desse cilindro quando o raio mede
e a altura é
?
Para resolver isso, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente a técnica de derivadas relacionadas. Precisamos da fórmula do volume do cilindro e entender como derivar em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um cilindro:
Aqui,
é o volume,
é o raio da base e
é a altura do cilindro. Nosso objetivo é encontrar
, que é a taxa de variação do volume em relação ao tempo.
Passo 3
Para encontrar
, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia porque tanto
quanto
são funções do tempo.
Derivando ambos os lados:
Aqui,
é a taxa de variação do raio e
é a taxa de variação da altura.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos:
-
-
-
(negativo porque o raio está diminuindo) -
Substituindo na fórmula:
Calculando passo a passo:
Resposta
A taxa de variação do volume do cilindro quando o raio é
e a altura é
é
. Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de
.