Um cilindro é comprimido lateralmente, e ao mesmo tempo, alongado de forma que o raio da base decresce a uma axa de 4 cm/s e a altura do cilindro aumenta a uma taxa de 5 cm/s. Encontre a taxa de variação do volume do cilindro quando o raio da base mede 6 cm , e a altura 8 cm .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! A gente tem um cilindro que está mudando de forma: o raio da base está diminuindo a uma taxa de e a altura está aumentando a uma taxa de . A pergunta é: qual é a taxa de variação do volume desse cilindro quando o raio mede e a altura é ?
Para resolver isso, vamos usar Cálculo Diferencial, especificamente a técnica de derivadas relacionadas. Precisamos da fórmula do volume do cilindro e entender como derivar em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume de um cilindro:
Aqui, é o volume, é o raio da base e é a altura do cilindro. Nosso objetivo é encontrar , que é a taxa de variação do volume em relação ao tempo.

Passo 3

Para encontrar , vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo . Usamos a regra do produto e a regra da cadeia porque tanto quanto são funções do tempo.
Derivando ambos os lados:
Aqui, é a taxa de variação do raio e é a taxa de variação da altura.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos:
  • (negativo porque o raio está diminuindo)
Substituindo na fórmula:
Calculando passo a passo:

Resposta

A taxa de variação do volume do cilindro quando o raio é e a altura é é . Isso significa que o volume está diminuindo a uma taxa de .

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