Um cilindro contém 2,0 \mathrm{~mol} de um gás inicialmente a 300 K e 1,5 \mathrm{~atm}.
(a) Calcule o volume ocupado por esse gás segundo a equação do gás ideal.
(b) Discuta duas limitações do uso da equação do gás ideal em processos ambientais ou de mineração, citando casos em que ela falha.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • quantidade de matéria: n=2,0\\ \mathrm{mol},
  • temperatura: T=300\\ \mathrm{K},
  • pressão: P=1,5\\ \mathrm{atm}.
O que se pede:
(a) calcular o volume ocupado por esse gás usando a equação do gás ideal;
(b) discutir duas limitações do uso da equação do gás ideal em processos ambientais ou de mineração, citando casos em que ela falha.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar e explicando cada termo (aulas rápidas, sem medo).
A equação do gás ideal é
P V = n R T.
Explicando cada símbolo:
  • P é a pressão do gás (unidade: \mathrm{atm} ou \mathrm{Pa});
  • V é o volume ocupado pelo gás (unidade: \mathrm{L} ou \mathrm{m^3});
  • n é a quantidade de matéria, em mol;
  • R é a constante dos gases ideais; seu valor depende das unidades escolhidas; dois valores práticos são:
    • R=0,082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (útil se P estiver em \mathrm{atm} e V em \mathrm{L});
    • R=8,314462618\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}=8,314462618\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (útil no SI: P em \mathrm{Pa}, V em \mathrm{m^{3}}).
  • T é a temperatura em kelvin.
Para encontrar o volume isolamos V:
V=\frac{n R T}{P}.
É importante que todas as grandezas estejam em concordância de unidades: se usar R em \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, mantenha P em \mathrm{atm} e V será obtido em \mathrm{L}. Se usar R em SI, converta P para \mathrm{Pa} e obterá V em \mathrm{m^3}.

Passo 3

Cálculo usando R na forma prática com \mathrm{L\cdot atm} (menos conversões, mais direto para esta pressão dada em atm).
Usando \;R=0,082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}, substituindo:
V=\frac{nRT}{P}=\frac{2,0\cdot 0,082057\cdot 300}{1,5}\\ \mathrm{L}.
Vamos fazer as contas passo a passo:
  • primeiro 2,0\cdot 0,082057 = 0,164114;
  • depois 0,164114\cdot 300 = 49,2342;
  • por fim 49,2342 / 1,5 = 32,8228.
Logo, o volume calculado é V=32,8228\\ \mathrm{L}. Para apresentação, arredondamos de forma sensata conforme algarismos significativos (ver Passo 5).

Passo 4

Verificação usando unidades SI (mostra como garantir consistência e praticidade quando a pressão estiver em \mathrm{Pa}).
Converter pressão: 1\\ \mathrm{atm}=101\,325\\ \mathrm{Pa}, então
P=1,5\\ \mathrm{atm}=1,5\cdot 101\,325 = 151\,987,5\\ \mathrm{Pa}.
Usar R=8,314462618\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}. Substituindo:
V=\frac{nRT}{P}=\frac{2,0\cdot 8,314462618\cdot 300}{151\,987,5}\\ \mathrm{m^{3}}.
Cálculo passo a passo:
  • 8,314462618\cdot 300 = 2\,494,3387854;
  • 2,0\cdot 2\,494,3387854 = 4\,988,6775708;
  • 4\,988,6775708 / 151\,987,5 \approx 0,0328228\\ \mathrm{m^{3}}.
Convertendo para litros ( 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} ):
0,0328228\\ \mathrm{m^{3}} = 32,8228\\ \mathrm{L},
confirmando o resultado do Passo 3.

Passo 5

Discussão de algarismos significativos e apresentação final numérica:
  • Os dados originais têm pelo menos 2 algarismos significativos (por exemplo n=2,0 e P=1,5), portanto a resposta final razoável com 2 algarismos significativos é:
V\approx 33\\ \mathrm{L}.
Se preferir manter mais casas (resultado calculado com precisão), pode usar
V=32,8\\ \mathrm{L}=0,0328\\ \mathrm{m^{3}}.
Ambas as formas são corretas; a escolha depende de como quer reportar a precisão.

Passo 6

Agora a parte (b): primeira limitação do modelo ideal, explicando por que ele falha e dando um caso prático.
Limitação 1 — interações moleculares e volume finito das moléculas:
  • Por que falha: a hipótese do gás ideal assume partículas puntiformes sem volume próprio e sem forças intermoleculares. Em altas pressões (ou baixas temperaturas) as moléculas ficam próximas e forças atrativas/repulsivas e o volume molecular começam a influenciar o comportamento; a relação linear PV=nRT deixa de ser válida.
  • Exemplo prático em ambiente/mineração: armazenamento e compressão de gás natural (metano) em alta pressão para transporte ou em reservatórios profundos. Nessas condições de alta pressão e densidade, o metano comporta-se como gás real (às vezes supercrítico) e é necessário usar fatores de compressibilidade Z ou equações de estado reais (por exemplo van der Waals, Redlich–Kwong, Peng–Robinson) para obter volumes e pressões corretos. Outro exemplo: injeção de \mathrm{CO_2} para sequestro em formações subterrâneas, onde \mathrm{CO_2} pode estar perto do ponto crítico e o comportamento é fortemente não ideal.

Passo 7

Segunda limitação do modelo ideal, com explicação e exemplos.
Limitação 2 — misturas, condensação, adsorção e fenômenos de fase:
  • Por que falha: a equação do gás ideal assume estado gasoso puro e sem mudanças de fase. Em situações reais, há mistura de gases (ar úmido, vapores orgânicos), presença de vapor d’água que pode condensar, ou adsorção de gases em superfícies porosas (carvão, rochas), e reações químicas que alteram a composição. Esses efeitos invalidam a aplicação direta de PV=nRT.
  • Exemplo prático em mineração/ambiental: em túneis e galerias de mina, o ar pode conter vapor d’água que condensa quando a temperatura cai, alterando a pressão parcial dos componentes; também há adsorção de metano em veios de carvão — o volume livre de gás na rocha não obedece simplesmente a PV=nRT porque parte do gás está adsorvido e as condições locais variam. Outro caso: em atmosferas quentes de usinas, a presença de poluentes e reações químicas (combustão, oxidação) mudam a composição e invalidam a suposição de gás ideal puro.

Passo 8

Breve nota prática (motivacional e útil para prova): quando souber que as condições envolvem pressões moderadas a baixas e temperaturas não muito próximas do ponto de liquefação, usar PV=nRT é aceitável e facilita cálculo rápido. Se houver alta pressão/alta densidade, proximidade do ponto crítico, condensação ou adsorção, então cite que é preciso usar fator de compressibilidade Z, ou uma equação de estado real. Você já fez a parte mecânica do cálculo e agora sabe quando desconfiar do resultado — tá indo bem!

Resposta

(a) V=32,8\\ \mathrm{L}\approx 0,0328\\ \mathrm{m^{3}} (arredondando com 2 algarismos significativos: V\approx33\\ \mathrm{L}=0,033\\ \mathrm{m^{3}}).
(b) (1) Falha em altas pressões/baixas temperaturas por efeitos de volume molecular e forças intermoleculares (ex.: compressão de gás natural, injeção/armazenamento de \mathrm{CO_2} próximo ao ponto crítico) — requer equações de estado reais ou fator Z.
(2) Falha em presença de misturas, condensação, adsorção ou reações químicas (ex.: ar úmido em galerias de mina que condensa; metano adsorvido em camadas de carvão) — nesses casos PV=nRT não descreve corretamente o comportamento real.

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