Um cilindro com êmbolo móvel contém 100 g de vapor d’água a 120^{\circ} \mathrm{C} e 300 kPa , com volume de 0,04 \mathrm{~m}^{3}. Determine o trabalho realizado pelo vapor para expandir até o volume de 0,06 \mathrm{~m}^{3} trazendo o êmbolo para cima.

Passo 1

Dados fornecidos (copiando exatamente os números do enunciado):
m=0{,}100\\ \mathrm{kg},\quad T_1=120^\circ\mathrm{C},\quad p_1=300\\ \mathrm{kPa},\quad V_1=0{,}04\\ \mathrm{m}^3,\quad V_2=0{,}06\\ \mathrm{m}^3.
O que o enunciado pede: determinar o trabalho realizado pelo vapor enquanto ele expande e eleva o êmbolo de V_1 até V_2. (Ou seja: calcular W associado à expansão do volume de 0{,}04\\ \mathrm{m}^3 para 0{,}06\\ \mathrm{m}^3.)

Passo 2

Vamos escolher o método: para calcular trabalho de uma expansão de gás com êmbolo móvel usa‑se a expressão geral
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV.
Não foi dado detalhe de variação de p com V, mas como o enunciado fala de um êmbolo móvel (normalmente com massa/força externa constante), é razoável e padrão assumir que o processo é quasi‑estático com pressão aproximadamente constante igual à pressão fornecida p=300\\ \mathrm{kPa}. Ou seja, adotamos a hipótese de processo isobárico (pressão constante). Esta é a hipótese usual quando um êmbolo sobe contra uma carga fixa.

Passo 3

Motivação física e derivação da fórmula básica (passo didático): considere uma pequena variação do volume dV. A força exercida pelo gás sobre o êmbolo é F=pA, onde A é a área do êmbolo. Num deslocamento infinitesimal dx a pequena energia (trabalho) realizada pelo gás é
dW=F\,dx = pA\,dx.
Como dV=A\,dx, obtemos
dW = p\,dV.
Integrando de V_1 a V_2 temos a expressão usada:
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV.
Aqui W tem unidade de joule porque p em pascal ( \mathrm{Pa}=\mathrm{N}/\mathrm{m}^2) vezes V em \mathrm{m}^3 \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{J}.

Passo 4

Simplificação para pressão constante: se p é constante durante a expansão, a integral vira produto:
W = p\,(V_2-V_1).
Explicando as variáveis: p é a pressão (em pascal), V_1 e V_2 volumes inicial e final (em \mathrm{m}^3). O resultado é o trabalho realizado pelo gás sobre o êmbolo. Pela convenção usual, W>0 significa trabalho realizado pelo sistema.

Passo 5

Converter unidades e calcular a variação de volume:
p = 300\\ \mathrm{kPa} = 300\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}=3{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{Pa},
\Delta V = V_2-V_1 = 0{,}06-0{,}04 = 0{,}02\\ \mathrm{m}^3.

Passo 6

Calcular o trabalho, detalhando as contas:
W = p\,\Delta V = \left(3{,}0\times 10^{5}\right)\times\left(2{,}0\times 10^{-2}\right)\\ \mathrm{J}.
Multiplicando os fatores:
W = 6{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Em unidades mais usuais:
W = 6{,}0\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Interpretação final e observações didáticas: o sinal positivo indica que o vapor realizou 6{,}0\\ \mathrm{kJ} de trabalho sobre o êmbolo (energia transferida do sistema para o entorno). Se quiser o trabalho por unidade de massa (não solicitado, mas útil em problemas de termodinâmica), temos
w_{\mathrm{espec}}=\frac{W}{m}=\frac{6{,}0\times 10^{3}}{0{,}100}=6{,}0\times 10^{4}\\ \mathrm{J/kg}=60\\ \mathrm{kJ/kg}.

Resposta

W = 6{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{J} = 6{,}0\\ \mathrm{kJ}

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