Um cilindro é equipado com um pistão e tem um volume inicial de 0,1 \mathrm{~m}^{3} e contém gás \mathrm{N}_{2} a 120 kPa e 37^{\circ} \mathrm{C}. O pistão é movido, comprimindo o gás até que a pressão seja 1,2 \mathrm{MPa} e a temperatura seja 167^{\circ} \mathrm{C}. Durante a compressão, o calor é transferido do gás e o trabalho realizado no sistema é de 15 kJ . Determine a quantidade de transferência de calor.

Passo 1

O enunciado descreve uma compressão de gás nitrogênio ( \mathrm{N_2}) em um pistão, com as seguintes condições iniciais e finais:
– Volume inicial V_1 = 0,1\\ \mathrm{m}^3
– Pressão inicial P_1 = 120\\ \mathrm{kPa}
– Temperatura inicial T_1 = 37^\circ\mathrm{C} = 310{,}15\\ \mathrm{K}
– Pressão final P_2 = 1{,}2\\ \mathrm{MPa}
– Temperatura final T_2 = 167^\circ\mathrm{C} = 440{,}15\\ \mathrm{K}
– Trabalho realizado no sistema W_\mathrm{on} = 15\\ \mathrm{kJ} (positivo, pois é trabalho sobre o gás)
Queremos determinar a transferência de calor Q. Vamos usar a Primeira Lei da Termodinâmica para sistema fechado e o gás ideal diatômico:
– Energia interna \Delta U = m\,c_v\,(T_2 - T_1)
– Primeira Lei: \Delta U = Q + W_\mathrm{on}

Passo 2

Calcular a massa de \mathrm{N_2} usando a equação de estado do gás ideal:
m \;=\;\frac{P_1\,V_1}{R\,T_1}
onde R é a constante específica do \mathrm{N_2}.
R = \frac{R_\mathrm{univ}}{M_{\mathrm{N_2}}} = \frac{8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}}{0{,}0280135\\ \mathrm{kg/mol}} \approx 296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Substituindo:
m = \frac{120\times10^3\\ \mathrm{Pa}\,\times0{,}1\\ \mathrm{m}^3} {296{,}8\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times310{,}15\\ \mathrm{K}} \approx 0{,}1304\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular a variação de energia interna \Delta U. Para gás diatômico,
c_v = \frac{5}{2}\,R \approx \frac{5}{2}\times296{,}8 = 742\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Logo,
\Delta U = m\,c_v\,(T_2 - T_1) = 0{,}1304\\ \mathrm{kg}\times742\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\times(440{,}15 - 310{,}15)\\ \mathrm{K} \approx 12\,6\\ \mathrm{kJ}.

Passo 4

Aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica para trabalho sobre o sistema:
\Delta U = Q + W_\mathrm{on} \quad\Longrightarrow\quad Q = \Delta U - W_\mathrm{on}.
Substituindo os valores:
Q = 12{,}6\\ \mathrm{kJ} - 15\\ \mathrm{kJ} = -2{,}4\\ \mathrm{kJ}.
O sinal negativo indica que o gás transferiu calor para o meio externo.

Resposta

Q = -2{,}4\\ \mathrm{kJ} (o gás perdeu 2{,}4\\ \mathrm{kJ} de calor).

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