1 kg de argônio é comprimido em um processo politrópico com índice politrópico de 1,2 , partindo de 150 kPa e 20^{\circ} \mathrm{C} até 900 kPa em um dispositivo pistão-cilindro. Determine o trabalho produzido e o calor transferido durante esse processo de compressão.

Passo 1

O problema trata de uma massa m=1 kg de argônio, considerado gás ideal monatômico, submetida a uma compressão politrópica com índice n=1{,}2, desde o estado inicial \bigl(P_{1}=150\\ \text{kPa},\\ T_{1}=20^\circ\text{C}\bigr) até o estado final P_{2}=900\\ \text{kPa}. Queremos calcular o trabalho W realizado pelo gás (positivo se o gás gerar trabalho, negativo se o trabalho for feito sobre ele) e o calor Q transferido.
Conteúdo: processo politrópico de gás ideal e 1ª lei da termodinâmica para sistema aberto no pistão-cilindro.

Passo 2

Para um gás ideal monatômico temos:
R = \frac{R_{\rm u}}{M_{\rm Ar}} \quad\text{e}\quad c_{v} = \tfrac{3}{2}R,
onde R_{\rm u}=8{,}314\\ \text{kJ/kmol\cdotK} e M_{\rm Ar}=39{,}948\\ \text{kg/kmol}.
Logo,
R = \frac{8{,}314}{39{,}948} \approx 0{,}2081\\ \text{kJ/(kg\cdotK)}, \quad c_{v} = \tfrac{3}{2}\,R \approx 0{,}3122\\ \text{kJ/(kg\cdotK)}.

Passo 3

Num processo politrópico vale
\frac{T_{2}}{T_{1}} =\Bigl(\frac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{\frac{n-1}{n}}
com P_{2}/P_{1}=900/150=6 e \frac{n-1}{n}=\frac{1{,}2-1}{1{,}2}=\tfrac{1}{6}.
Portanto,
T_{2} = T_{1}\,6^{1/6} = 293{,}15\;\text{K}\times 6^{1/6} \approx 395{,}0\;\text{K}.

Passo 4

O trabalho em processo politrópico é dado por
W = m\,R\,\frac{T_{2}-T_{1}}{1-n}.
Substituindo m=1\\ \text{kg}, R=0{,}2081\\ \text{kJ/(kg\cdotK)}, T_{2}-T_{1}=395{,}0-293{,}15=101{,}85\\ \text{K} e 1-n=1-1{,}2=-0{,}2, temos
W = 1\cdot0{,}2081\cdot\frac{101{,}85}{-0{,}2} \approx -106{,}0\\ \text{kJ}.
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o gás.

Passo 5

Pela 1\textsuperscript{ª} lei da termodinâmica no pistão– cilindro (sistema aberto móvel),
Q = \Delta U + W,
com \Delta U = m\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}). Então
\Delta U = 1\cdot0{,}3122\cdot101{,}85\approx31{,}8\\ \text{kJ},
Q = 31{,}8 + (-106{,}0) \approx -74{,}2\\ \text{kJ}.
O resultado negativo indica calor rejeitado pelo gás.

Resposta

W \approx -106{,}0\\ \text{kJ} (trabalho realizado sobre o gás)
Q \approx -74{,}2\\ \text{kJ} (calor rejeitado pelo gás)

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