Um dispositivo pistão-cilindro contém 1,8 \mathrm{~kg} de nitrogênio inicialmente a 90 \mathrm{kPa} \mathrm{e} 20^{\circ} \mathrm{C}. O nitrogênio é, então, comprimido lentamente em um processo politrópico com índice politrópico de 1,3 até que o volume seja reduzido a um terço. Determine o trabalho realizado e a transferência de calor para este processo.

Passo 1

O enunciado descreve um pistão-cilindro contendo 1,8\:\mathrm{kg} de nitrogênio inicialmente em P_{1}=90\:\mathrm{kPa} e T_{1}=20^{\circ}\mathrm{C}. O gás sofre compressão politrópica com índice n=1,3 até que seu volume seja reduzido a um terço. Precisamos calcular o trabalho W (realizado pelo gás, segundo a convenção de sinais de termodinâmica) e o calor Q trocado no processo, tratando o nitrogênio como gás ideal.

Passo 2

Usamos a equação de gás ideal para determinar o volume específico inicial v_{1} e o volume total V_{1}:
v_{1}=\frac{R\,T_{1}}{P_{1}},
onde R é a constante do nitrogênio. Com M=28{,}0134\:\mathrm{kg/kmol} e R_{u}=8{,}314\:\mathrm{kJ/(kmol\cdot K)}, temos
R=\frac{8{,}314}{28{,}0134}\approx0,2969\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Convertendo T_{1}=20^{\circ}\mathrm{C}=293{,}15\:\mathrm{K} e P_{1}=90\:\mathrm{kPa},
v_{1}=\frac{0,2969\cdot293{,}15}{90}=0,967\:\mathrm{m^{3}/kg}, \quad V_{1}=m\,v_{1}=1,8\cdot0,967=1,7406\:\mathrm{m^{3}}.

Passo 3

No processo politrópico P\,V^{n}= constante e V_{2}=V_{1}/3. Logo,
P_{2}=P_{1}\,\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{n} =90\cdot3^{1,3}\approx375{,}4\:\mathrm{kPa}.
A temperatura final T_{2} vem de P_{2}V_{2}=mR\,T_{2} ou da relação T_{2}/T_{1}=(V_{1}/V_{2})^{\,n-1}:
T_{2}=T_{1}\,3^{\,n-1}=293{,}15\cdot3^{0,3}\approx407{,}5\:\mathrm{K}.

Passo 4

O trabalho realizado pelo gás em um processo politrópico é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV =\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}.
Substituindo P_{1}V_{1}=90\cdot1,7406=156{,}7\:\mathrm{kJ} e P_{2}V_{2}=375{,}4\cdot0,5802=217{,}7\:\mathrm{kJ},
W=\frac{217{,}7-156{,}7}{1-1,3} =\frac{61{,}0}{-0,3}=-203{,}3\:\mathrm{kJ}.
O sinal negativo indica que o gás realiza trabalho \emph{sobre} o sistema (isto é, trabalho feito no gás).

Passo 5

Pela primeira lei, \Delta U=Q-W. Calculamos \Delta U=m\,c_{v}(T_{2}-T_{1}). Para nitrogênio em 300 K, c_{p}\approx1{,}039\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e c_{v}=c_{p}-R=1{,}039-0,2969=0,7421\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
\Delta U =1,8\cdot0,7421\cdot(407{,}5-293{,}15) =1,8\cdot0,7421\cdot114{,}35 \approx152{,}7\:\mathrm{kJ}.
Então
Q=\Delta U+W =152{,}7+(-203{,}3) =-50{,}6\:\mathrm{kJ}.

Resposta

W=-203{,}3\:\mathrm{kJ} (trabalho realizado pelo gás)
Q=-50{,}6\:\mathrm{kJ} (calor retirado do gás)

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