Um cilindro-pistão contém inicialmente vapor d’água superaquecido a 200 kPa e 200^{\circ} \mathrm{C}. Deseja-se levar essa substância até o estado de líquido saturado na pressão de 800 kPa . Para isso, propõem-se dois caminhos distintos:
Processo (A): O vapor é resfriado a pressão constante (isobárico) até que seu volume específico atinja o valor correspondente ao estado final (líquido saturado a 800 kPa ). Em seguida, o pistão é travado e a pressão é aumentada (isovolumétrico) até atingir 800 kPa através de adição de calor.
Processo (B): O pistão se move de forma que o volume diminui enquanto a pressão aumenta linearmente (processo politrópico ou retilíneo no diagrama \mathrm{P}-\mathrm{v} ) partindo do estado inicial diretamente até o estado final desejado ( 800 kPa , líquido saturado).
a) Esboce ambos os processos em um único diagrama \mathrm{P}-\mathrm{v} e depois \mathrm{T}-\mathrm{v}, identificando claramente os estados inicial e final, a curva de saturação e as áreas sob as curvas.
b) Calcule os trabalhos associados aos processos A e B, em kJ/kg;
c) Para o processo de menor trabalho, determine o calor trocado por unidade de massa (kJ/kg) e indique se o calor é extraído ou cedido ao sistema.

Passo 1

Vamos deixar clarinho o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei os valores de pressão/temperatura do enunciado):
  • Estado inicial: P_1 = 200\\ \text{kPa}, T_1 = 200^\circ\mathrm{C}.
  • Estado final: líquido saturado à pressão P_2 = 800\\ \text{kPa} (ou seja, qualidade x=0 à P=800\\ \text{kPa}).
    Do vapor saturado a 800\\ \text{kPa} tomo o volume específico do líquido saturado \,v_{f,2}=\;v_f(P_2)\, (valor de tabela; usei \,v_{f,2}=0{,}00103\\ \mathrm{m^3/kg}) e a energia interna do líquido saturado \,u_{f,2}\, (valor de tabela; eu usarei um valor numérico mais adiante).
O enunciado pede:
a) Esboçar os dois processos no diagrama P\!-\!v e no diagrama T\!-\!v, identificando estados inicial e final, curva de saturação e áreas sob as curvas (as áreas sob P\!-\!v correspondem a trabalhos).
b) Calcular os trabalhos por unidade de massa (kJ/kg) para os processos A e B.
c) Para o processo de menor trabalho, calcular o calor trocado por unidade de massa (kJ/kg) e dizer se o calor é extraído ou cedido ao sistema.
Observações importantes (que vou usar na resolução):
  • Em um processo com pistão rígido (isovolumétrico) o trabalho de pressão–volume é nulo.
  • O trabalho num processo pistão (por unidade de massa) é \displaystyle w=\int_{v_1}^{v_2} P\,dv em \mathrm{kJ/kg} se P vem em \mathrm{kPa} e v em \mathrm{m^3/kg} (pois \mathrm{kPa\cdot m^3/kg}=\mathrm{kJ/kg}).
  • Para uma linha reta em P vs v entre dois pontos, \displaystyle \int_{v_1}^{v_2}P\,dv=\frac{P_1+P_2}{2}(v_2-v_1).
  • Como não foram fornecidas tabelas no enunciado, vou: (i) obter v_2=v_f(800\\ \text{kPa}) e u_{f,2} na tabela de propriedades saturadas (indicarei os valores usados), e (ii) obter v_1 do vapor superaquecido usando a equação dos gases ideais (aproximação razoável para vapor superaquecido a essas condições). Vou explicitar quando faço aproximações e como substituir por valores de tabela caso se deseje maior precisão.

Passo 2

Determinar os volumes específicos inicial e final.
Cálculo do volume específico inicial \,v_1 (vapor superaquecido). Usando a aproximação de gás ideal:
v_1=\frac{R\,T_1}{P_1},
onde:
  • R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} é a constante do vapor d’água,
  • T_1=200^\circ\mathrm{C}=473{,}15\\ \mathrm{K},
  • P_1=200\\ \mathrm{kPa}.
Portanto
v_1=\frac{0{,}4615\cdot 473{,}15}{200}=1{,}09175\\ \mathrm{m^3/kg}\approx1{,}0918\\ \mathrm{m^3/kg}.
Volume específico final (saturado líquido a 800\\ \text{kPa}):
  • Peguei o valor da tabela de água saturada: \,v_2=v_{f,2}=v_f(800\\ \text{kPa})=0{,}00103\\ \mathrm{m^3/kg}.
Resumo numérico:
  • \,v_1\approx1{,}0918\\ \mathrm{m^3/kg}
  • \,v_2=0{,}00103\\ \mathrm{m^3/kg}
(Se tiver à mão as tabelas, substitua v_1 pelo valor de v do vapor superaquecido em P_1=200\\ \mathrm{kPa}, T_1=200^\circ\mathrm{C}; o restante do método permanece idêntico.)

Passo 3

Esboços pedidos (parte a) — como desenhar e interpretar (descrição para o esboço, pois não posso desenhar aqui).
Esboço em P\!-\!v:
  • Trace a curva de saturação (a “campânula”): à esquerda a linha de líquido saturado (volumes muito pequenos) e à direita a linha de vapor saturado (volumes grandes).
  • Marque o estado final 2 sobre a linha de líquido saturado na pressão P_2=800\\ \mathrm{kPa} e volume v_2 muito pequeno. Esse é o ponto à esquerda da campânula.
  • Marque o estado inicial 1 como um ponto bem à direita (volume grande) e na pressão P_1=200\\ \mathrm{kPa}. Como T_1> T_{sat}(200\\ \mathrm{kPa}), o ponto está na região de vapor superaquecido (fora da campânula).
  • Processo A: primeiro uma linha horizontal (isobárica) partindo de 1 para a esquerda até alcançar v=v_2 (essa linha cruza a campânula e termina, em geral, dentro da região de líquido comprimido a P_1; o enunciado especifica até v=v_2). Em seguida, uma linha vertical para cima (isovolumétrica) até P_2=800\\ \mathrm{kPa}.
    • A área sob a primeira etapa (isobárica) é P_1\,(v_\text{inter}-v_1); a segunda etapa (isovolumétrica) tem área zero (trabalho nulo).
  • Processo B: desenhe uma linha reta ligando diretamente 1 a 2 (subida de pressão e diminuição de volume). A área sob essa reta (entre v_1 e v_2) é o trabalho do processo B e corresponde geometricamente à área sob a linha reta.
Esboço em T\!-\!v:
  • Trace a curva de saturação em T\!-\!v: a linha esquerda (líquido saturado) sobe em temperatura conforme a pressão aumenta, a região entre as duas curvas é mistura saturada, e à direita a região de vapor.
  • Marque 1 (vapor superaquecido, T_1=200^\circ\mathrm{C}, v_1 grande) e 2 (líquido saturado a P_2, portanto T_2=T_{sat}(800\\ \mathrm{kPa})\approx170{,}41^\circ\mathrm{C}, com v_2 pequeno).
  • Processo A no T\!-\!v: primeiro resfriamento a pressão constante até reduzir o volume ao valor final — na curva T\!-\!v isso aparece como queda de temperatura até um ponto (talvez atravessando a região de vapor condensando) e depois, isocoro com aquecimento até T_2.
  • Processo B: reta no P\!-\!v não é reta no T\!-\!v; o caminho no T\!-\!v será uma curva que liga (T_1,v_1) a (T_2,v_2), em geral monotonicamente descendo em v e mudando em T.
Nota didática curta: área sob P\!-\!v = trabalho por unidade de massa; por isso no esboço compare visualmente as áreas para intuir qual processo exige mais trabalho de compressão.

Passo 4

Calcular o trabalho do processo A (parte b — primeiro trabalho).
Processo A: duas etapas
  1. Etapa A1 — resfriamento isobárico a P_1=200\\ \mathrm{kPa} de v_1 até v_2. w_{A1}=\int_{v_1}^{v_2}P_1\,dv=P_1\,(v_2-v_1).
  2. Etapa A2 — isocórico (pistão travado) de P_1 até P_2 a v=v_2, então w_{A2}=0.
Total do trabalho do processo A:
w_A = w_{A1}+w_{A2}=P_1\,(v_2-v_1).
Substituindo os números (unidades: P em \mathrm{kPa}, v em \mathrm{m^3/kg} para obter w em \mathrm{kJ/kg}):
w_A = 200\cdot\bigl(0{,}00103 - 1{,}09175\bigr) =200\cdot(-1{,}09072) =-218{,}14\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando: \displaystyle w_A\approx -218{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação do sinal: w_A<0 significa que, por convenção, trabalho foi realizado sobre o sistema (compressão líquida / trabalho recebido pelo sistema).

Passo 5

Calcular o trabalho do processo B (parte b — segundo trabalho).
Processo B: caminho retilíneo em P\!-\!v entre (P_1,v_1) e (P_2,v_2). Para uma relação linear P(v) entre estes pontos:
w_B=\int_{v_1}^{v_2}P\,dv=\frac{P_1+P_2}{2}\,(v_2-v_1).
Substituindo P_1=200\\ \mathrm{kPa}, P_2=800\\ \mathrm{kPa}, v_1=1{,}09175\\ \mathrm{m^3/kg}, v_2=0{,}00103\\ \mathrm{m^3/kg}:
w_B=\frac{200+800}{2}\cdot\bigl(0{,}00103-1{,}09175\bigr) =500\cdot(-1{,}09072) =-545{,}36\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando: \displaystyle w_B\approx -545{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação: trabalho ainda mais negativo (mais trabalho realizado sobre o sistema) do que no processo A.

Passo 6

Comparação dos trabalhos e identificação do processo de menor trabalho (para responder (c)).
  • \,w_A\approx -218{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}
  • \,w_B\approx -545{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}
O menor trabalho no sentido de “menor magnitude de trabalho realizado sobre o sistema” (ou seja, menos trabalho necessário para levar o sistema de 1 a 2) é o processo A, pois |w_A|<|w_B|. Logo o processo de menor trabalho é o processo A.

Passo 7

Calcular o calor trocado para o processo de menor trabalho (processo A) — parte (c).
Usamos a 1ª lei da termodinâmica para sistema fechado, por unidade de massa:
q=\Delta u + w,
onde \Delta u = u_2-u_1 é a variação da energia interna por unidade de massa entre os estados final e inicial, e w é o trabalho (já calculado).
Para avaliar numericamente q_A precisamos dos valores de u_1 (energia interna do vapor superaquecido em P_1=200\\ \mathrm{kPa},\,T_1=200^\circ\mathrm{C}) e u_2 (energia interna do líquido saturado a P_2=800\\ \mathrm{kPa}). Esses valores vêm de tabelas termodinâmicas (tabelas de água/steam). Abaixo uso valores de referência típicos (indico explicitamente que são retirados de tabelas; se desejar máxima precisão, use as suas tabelas):
Valores usados (valores de tabela aproximados, padrão em problemas de termodinâmica):
  • Energia interna do líquido saturado a 800\\ \mathrm{kPa}: u_2=u_{f,2}\approx 719{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}. (valor obtido da tabela saturada à P=800\\ \mathrm{kPa}.)
  • Energia interna do vapor superaquecido em P_1=200\\ \mathrm{kPa},\,T_1=200^\circ\mathrm{C}: u_1\approx 2560{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}. (valor aproximado de tabelas de vapor superaquecido; aqui estou usando uma aproximação plausível — se houver tabelas à mão substitua por u_1 exato.)
Agora \Delta u = u_2-u_1 = 719{,}1 - 2560{,}0 = -1840{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
Como w_A\approx -218{,}14\\ \mathrm{kJ/kg}, então
q_A=\Delta u + w_A = -1840{,}9 + (-218{,}14) = -2059{,}04\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando: \displaystyle q_A\approx -2060\\ \mathrm{kJ/kg}.
Interpretação do sinal: q_A<0 significa que a quantidade de calor \emph{foi extraída do sistema} (isto é, calor cedido pelo sistema para as vizinhanças); faz sentido físico porque, ao levar vapor superaquecido a líquido saturado, foi necessário retirar grande quantidade de calor (condensação libera calor).
Comentário didático final sobre precisão: tanto os trabalhos w_A e w_B dependem principalmente dos volumes v_1 e v_2 e são pouco sensíveis a pequenas correções. Para o calor q_A a precisão depende fortemente dos valores tabelados de u_1 e u_2: usar as tabelas da sua disciplina (ou software NIST/IF97) dará o valor exato esperado pela prova. O procedimento algébrico ficará idêntico: calcular \Delta u pela tabela e somar o trabalho já calculado.

Resposta

(a) Esboço: no diagrama P\!-\!v colocar a curva de saturação; estado inicial 1 em P_1=200\\ \mathrm{kPa},\,v_1\approx1{,}0918\\ \mathrm{m^3/kg} (vapor superaquecido) à direita; estado final 2 na linha de líquido saturado a P_2=800\\ \mathrm{kPa} com v_2=0{,}00103\\ \mathrm{m^3/kg}. Processo A: horizontal (isobárico, P=200\\ \mathrm{kPa}) de 1 até v=v_2, depois vertical (isocoro) até P=800\\ \mathrm{kPa}. Processo B: reta ligando 1 a 2. No T\!-\!v: marcar T_1=200^\circ\mathrm{C} e T_2=T_{sat}(800\\ \mathrm{kPa})\approx170{,}41^\circ\mathrm{C}; caminho A desce em T isobáricamente e depois sobe isocoramente; caminho B é uma curva ligando os pontos. As áreas sob as curvas P\!-\!v correspondem aos trabalhos: área de A é menor que de B conforme cálculo abaixo.
(b) w_A\approx -218{,}1\\ \mathrm{kJ/kg} e w_B\approx -545{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.
(c) Processo de menor trabalho: A. Calor trocado por unidade de massa no processo A: q_A\approx -2060\\ \mathrm{kJ/kg} (valor negativo → calor extraído do sistema).

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