Um cilindro provido de um pistão contém um gás sob as seguintes condições: p=1 bar, \mathrm{V}=10 \mathrm{~L} e \mathrm{T}=27^{\circ} \mathrm{C}. a) Qual será o volume ocupado pelo gás se ele expandirse isotermicamente até ter a pressão reduzida à metade? b) Qual será a temperatura final se, a partir do estado inicial, o gás resfriar-se, a volume constante, até ter sua pressão reduzida à metade do valor inicial? c) Quais serão a temperatura e o volume finais se o gás expandir-se isotermicamente, desde o estado inicial, até a pressão de 0,75 bar e , a seguir, resfriar-se, a volume constante, até a pressão de 0,5 bar? d) Quais serão a temperatura e o volume finais se o gás, a partir do estado inicial, sofrer um resfriamento isocórico até 0,75 bar, seguido de uma expansão isotérmica até 0,5 bar? e) Represente os processos c e d no plano PV.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal em um cilindro com pistão nas condições iniciais \displaystyle p_1 = 1\\ \text{bar}, \displaystyle V_1 = 10\\ \text{L} e \displaystyle T_1 = 27^\circ\text{C} = 300\\ \text{K}.
Vamos usar a equação do gás ideal
pV = nRT,
onde nR é constante em todas as transformações, e raciocinar passo a passo para cada item.

Passo 2

(a) Expansão isotérmica até \displaystyle p_2 = \tfrac12 p_1 = 0{,}5\\ \text{bar}.
Como a temperatura permanece \displaystyle T_2 = T_1, vale
p_1V_1 = p_2V_2 \quad\Longrightarrow\quad V_2 = \frac{p_1}{p_2}\,V_1 = \frac{1}{0{,}5}\times 10 = 20\\ \text{L}.

Passo 3

(b) Resfriamento a volume constante até \displaystyle p_2 = \tfrac12 p_1 = 0{,}5\\ \text{bar}.
Como \displaystyle V constante e \displaystyle p\propto T, temos
\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad T_2 = 0{,}5\times 300\\ \text{K} = 150\\ \text{K}.

Passo 4

(c) Duas etapas a partir do estado inicial:
  1. Expansão isotérmica até \displaystyle p_2 = 0{,}75\\ \text{bar}. \displaystyle T_2 = T_1 = 300\\ \text{K} e
V_2 = \frac{p_1}{p_2}\,V_1 = \frac{1}{0{,}75}\times 10 = 13{,}33\\ \text{L}.
  1. Resfriamento a volume constante V_2 até \displaystyle p_3 = 0{,}5\\ \text{bar}. \displaystyle \tfrac{T_3}{T_2} = \tfrac{p_3}{p_2} = \tfrac{0{,}5}{0{,}75} = \tfrac23 \displaystyle T_3 = \tfrac23\times 300 = 200\\ \text{K}.

Passo 5

(d) Duas etapas a partir do estado inicial:
  1. Resfriamento isocórico até \displaystyle p_2 = 0{,}75\\ \text{bar}. \displaystyle V_2 = V_1 = 10\\ \text{L} e
    \displaystyle T_2 = \frac{p_2}{p_1}\,T_1 = 0{,}75\times 300 = 225\\ \text{K}.
  2. Expansão isotérmica a T_2 = 225\\ \text{K} até \displaystyle p_3 = 0{,}5\\ \text{bar}.
V_3 = \frac{p_2}{p_3}\,V_2 = \frac{0{,}75}{0{,}5}\times 10 = 15\\ \text{L}.

Passo 6

(e) No plano p\times V, marcamos os estados e curvas:
  • Processo (c): curva isotérmica de (1\\ \text{bar},10\\ \text{L}) a (0{,}75\\ \text{bar},13{,}33\\ \text{L}), depois segmento vertical de pressão caindo a (0{,}5\\ \text{bar},13{,}33\\ \text{L}).
  • Processo (d): segmento vertical de (1\\ \text{bar},10\\ \text{L}) a (0{,}75\\ \text{bar},10\\ \text{L}), depois curva isotérmica de (0{,}75\\ \text{bar},10\\ \text{L}) a (0{,}5\\ \text{bar},15\\ \text{L}).

Resposta

(a) V_2 = 20\\ \text{L}.
(b) T_2 = 150\\ \text{K}.
(c) T_3 = 200\\ \text{K},\quad V_3 = 13{,}33\\ \text{L}.
(d) T_3 = 225\\ \text{K},\quad V_3 = 15\\ \text{L}.
(e) Descrição esquemática das curvas no plano p V conforme Passo 6.

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