1. Considere uma lata de alumínio de bebida fria que está inicialmente a uma temperatura uniforme de 4^{\circ} \mathrm{C}. A lata tem 12,5 \mathrm{~cm} de altura e um diâmetro de 6 cm . Se coeficiente combinado de transferência de calor por convecção e radiação entre a lata e o ar circundante a 25^{\circ} \mathrm{C} é de 10 \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, determinar quanto tempo vai demorar para a temperatura média da bebida aumar para 15^{\circ} \mathrm{C}. Em um esforço para diminuir o aquecimento da bebida gelada, uma pessoa coloca a lata perfeitamente em um isolante cilíndrico de borracha ( \mathrm{k}=0,13 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 1 cm de espessura. Agora, quanto tempo leva para a temperatura média da bebida aumentar para 10^{\circ} \mathrm{C} ? Assumir a parte superior da lata não é coberto.

Passo 1

O enunciado trata do aquecimento transitório de uma bebida numa lata de alumínio inicialmente a \,4{\,}^\circ\mathrm{C} imersa em ar a \,25{\,}^\circ\mathrm{C}. A lata tem altura H=0,125,m e diâmetro d=0,06,m, e a transferência combinada por convecçã o+radiação vale h=10,W/ m^{2} \cdot\circC. Vamos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance), que se aplica se a temperatura do fluido interno permanecer praticamente uniforme. A solução geral é
T(t)-T_\infty = \bigl(T_0 - T_\infty\bigr)\,\exp\bigl(-t/\tau\bigr),
com \tau = \dfrac{\rho\,V\,c}{h\,A}. Precisamos calcular:
  1. Geometria (área A e volume V).
  2. Massa \rho V e \rho V c.
  3. Constante de tempo \tau.
  4. Tempo t para atingir 15{\,}^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Geometria da lata sem isolante:
r=\frac{d}{2}=0{,}03\text{ m},\quad H=0{,}125\text{ m}.
Volume:
V=\pi\,r^2\,H=\pi\,(0{,}03)^2\,(0{,}125)\approx3{,}534\times10^{-4}\text{ m}^3.
Áreas:
A_{\rm lateral}=\pi\,d\,H\approx0{,}02356\text{ m}^2,\quad A_{\rm topo}=A_{\rm base}=\pi\,r^2\approx0{,}002827\text{ m}^2,
A=A_{\rm lateral}+A_{\rm topo}+A_{\rm base}\approx0{,}02356+2\times0{,}002827=0{,}02921\text{ m}^2.

Passo 3

Propriedades do fluido (água): \rho=1000,kg/ m^{3}, c=4186,J/(k g\cdot K).
Massa e capacidade térmica:
m=\rho\,V\approx1000\cdot3{,}534\times10^{-4}=0{,}3534\text{ kg},\quad m\,c\approx0{,}3534\cdot4186=1479\text{ J/K}.
Constante de tempo sem isolante:
\tau_1=\frac{m\,c}{h\,A} =\frac{1479}{10\cdot0{,}02921}\approx5064\text{ s}\approx84{,}4\text{ min}.
Tempo para T subir de 4{\,}^\circ\mathrm{C} a 15{\,}^\circ\mathrm{C}:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty} =\exp\bigl(-t/\tau_1\bigr),
\frac{15-25}{4-25}=\frac{-10}{-21}=\frac{10}{21}=\exp(-t/\tau_1) \quad\Rightarrow\quad t=-\tau_1\ln\bigl(\tfrac{10}{21}\bigr) \approx5064\ln\bigl(2{,}1\bigr)\approx3756\text{ s}\approx62{,}6\text{ min}.

Passo 4

Agora colocamos isolante de borracha ( k=0{,}13,W/m \cdot\circC, espessura L=0{,}01,m) no cilindro lateral e na base; o topo fica sem isolante. Calculamos as resistências térmicas:
Lateral:
R_{\rm cond,lat}=\frac{L}{k\,A_{\rm lateral}} =\frac{0{,}01}{0{,}13\cdot0{,}02356}\approx3{,}266\text{ K/W},
R_{\rm conv,lat}=\frac{1}{h\,A_{\rm lateral}} =\frac{1}{10\cdot0{,}02356}\approx4{,}243\text{ K/W},
R_{\rm lat}=R_{\rm cond,lat}+R_{\rm conv,lat}\approx7{,}509\text{ K/W}.
Base:
R_{\rm cond,b}=\frac{0{,}01}{0{,}13\cdot0{,}002827}\approx27{,}21\text{ K/W},
R_{\rm conv,b}=\frac{1}{10\cdot0{,}002827}\approx35{,}37\text{ K/W},
R_{\rm b}=R_{\rm cond,b}+R_{\rm conv,b}\approx62{,}58\text{ K/W}.
Topo (só convecção):
R_{\rm top}=\frac{1}{h\,A_{\rm topo}} =\frac{1}{10\cdot0{,}002827}\approx35{,}37\text{ K/W}.
Unidade UA total:
UA=\frac{1}{R_{\rm lat}}+\frac{1}{R_{\rm b}}+\frac{1}{R_{\rm top}} \approx0{,}1332+0{,}0160+0{,}0283=0{,}1775\text{ W/K}.
Constante de tempo com isolante:
\tau_2=\frac{m\,c}{UA}=\frac{1479}{0{,}1775}\approx8335\text{ s}\approx138{,}9\text{ min}.

Passo 5

Tempo para T subir de 4{\,}^\circ\mathrm{C} a 10{\,}^\circ\mathrm{C} com isolante:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty} =\exp\bigl(-t/\tau_2\bigr), \quad \frac{10-25}{4-25}=\frac{-15}{-21}=\frac{15}{21}=\exp(-t/\tau_2),
t=-\tau_2\ln\bigl(\tfrac{15}{21}\bigr) =\tau_2\ln\bigl(\tfrac{21}{15}\bigr) \approx8335\ln(1{,}4)\approx2804\text{ s}\approx46{,}7\text{ min}.

Resposta

Sem isolante, para a bebida alcançar 15{\,}^\circ\mathrm{C}: aproximadamente 62,6 minutos.
Com o isolante (topo descoberto), para a bebida alcançar 10{\,}^\circ\mathrm{C}: aproximadamente 46,7 minutos.

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