Partindo da condição analítica descrita na Equação 1:
\lim _{p \rightarrow 0,}\left(\frac{\partial Z}{\partial p}\right)_{T b}=0
Prove que:
\mathrm{T}_{\mathrm{B}}=3,375 \mathrm{~T}_{\mathrm{c}}
( \mathrm{T}_{\mathrm{B}}= Temperatura de Boyle; \mathrm{T}_{\mathrm{C}}= Temperatura Crítica)

Passo 1

O enunciado parte da condição analítica da temperatura de Boyle, dada por
\lim_{p\to0}\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial p}\Bigr)_{T,b}=0,
onde Z é o fator de compressibilidade. Queremos mostrar que, para um gás descrito pela equação de van der Waals,
T_{B}=3,375\,T_{c}.
Para isso, vamos usar a expansão virial de Z e as expressões de B_{2}(T) e de T_{c} para o gás de van der Waals.

Passo 2

Em geral, para pressões baixas escrevemos o fator de compressibilidade em série de virial
Z = 1 + B_{2}(T)\,\frac{p}{RT} + \cdots
onde B_{2}(T) é o segundo coeficiente de virial. Então
\Bigl(\frac{\partial Z}{\partial p}\Bigr)_{T} = \frac{B_{2}(T)}{RT} + \cdots
e a condição \lim_{p\to0}(\partial Z/\partial p)_{T}=0 implica
B_{2}(T_{B})=0,
isto é, a temperatura de Boyle é a raiz de B_{2}(T).

Passo 3

Para a equação de van der Waals, os coeficientes de virial têm forma fechada e
B_{2}(T) = b - \frac{a}{R\,T}.
Impondo B_{2}(T_{B})=0 obtemos
b - \frac{a}{R\,T_{B}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad T_{B} = \frac{a}{b\,R}.

Passo 4

Também se sabe que, na van der Waals, a temperatura crítica é dada pela condição de ponto de inflexão
\frac{\partial p}{\partial V}\Bigl|_{T_c} = \frac{\partial^{2} p}{\partial V^{2}}\Bigl|_{T_c} =0
que leva à expressão
T_{c} = \frac{8\,a}{27\,b\,R}.

Passo 5

Dividindo T_{B} por T_{c} temos
\frac{T_{B}}{T_{c}} = \frac{\dfrac{a}{b\,R}}{\dfrac{8\,a}{27\,b\,R}} = \frac{1}{1}\cdot\frac{27}{8} = \frac{27}{8} = 3,375.
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T_{B} = 3,375\,T_{c}.

Resposta

\displaystyle T_{B}=3,375\,T_{c}.

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