A cinética dos processos de oxidação de metais apresenta um perfil parabólico em temperaturas elevadas, pois, em geral, a taxa de oxidação é inversamente proporcional à sua espessura ou massa da camada de óxido. Derive a expressão que descreve a cinética de oxidação e represente seu perfil gráfico.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) derivar a expressão matemática que descreve a cinética de oxidação quando “a taxa de oxidação é inversamente proporcional à espessura ou massa da camada de óxido”, e (2) representar o perfil gráfico dessa cinética.
Informações fornecidas e o que vamos usar:
  • A taxa de crescimento da camada de óxido (ou ganho de massa por unidade de área) é inversamente proporcional à sua massa/espessura. Vou chamar de \,m(t)\, a massa de óxido por unidade de área no instante t (unidade: por exemplo \mathrm{kg/m^2} ou \mathrm{g/cm^2}). Poderíamos usar espessura \,x(t)\, em vez de massa; o raciocínio é o mesmo se \,m\propto x.
  • Proporcionalidade dada: taxa \dfrac{dm}{dt} satisfaz \dfrac{dm}{dt}\propto \dfrac{1}{m}.
  • Queremos transformar essa proporcionalidade numa equação diferencial, resolvê‑la explicitamente e explicar o gráfico resultante.

Passo 2

Traduzindo a proposição “taxa inversamente proporcional à massa” para uma equação matemática: existe uma constante positiva \,k tal que
\frac{dm}{dt}=\frac{k}{m}.
Explicação didática: aqui \,dm/dt é a velocidade de crescimento da massa de óxido (quanto a massa por unidade de área aumenta por unidade de tempo). Dizer que \,dm/dt é proporcional a 1/m significa que, quanto maior a camada já existente ( m grande), menor a velocidade instantânea de aumento — isso modela um processo controlado por difusão através da camada (mais camada = mais resistência ao transporte).

Passo 3

Resolver a equação diferencial. Primeiro, note que a equação é separável (podemos colocar todos os termos com m de um lado e os termos com t do outro). Fazemos:
\frac{dm}{dt}=\frac{k}{m}\quad\Longrightarrow\quad m\,dm = k\,dt.
Agora integramos ambos os lados com respeito às suas variáveis. Integração passo a passo:
\int m\,dm = \int k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \tfrac{1}{2}m^2. A do lado direito é k t mais uma constante de integração C. Logo:
\frac{1}{2}m^2 = k t + C.

Passo 4

Isolando m^2 e definindo uma constante típica usada na literatura (constante parabólica), multiplicamos por 2:
m^2 = 2k t + C',
onde \,C' = 2C é outra constante. É comum definir a constante parabólica \,k_p = 2k, ficando a forma padrão:
\boxed{\,m^2 = k_p\,t + C'.\,}
Interpretação de C': se m(0)=m_0 no tempo inicial t=0, então C' = m_0^2. Para o caso em que não há óxido inicial ( m_0=0), temos a forma simples
\boxed{\,m^2 = k_p\,t \quad\Longrightarrow\quad m = \sqrt{k_p\,t}\,.\,}

Passo 5

Relacionando com a espessura \,x(t)\, quando relevante: se a massa por unidade de área é proporcional à espessura pela densidade do óxido \rho (ou por massa por volume efetiva),
m=\rho\,x,
então substituindo em m^2=k_p t + C' obtemos
(\rho x)^2 = k_p t + C' \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{k_p}{\rho^2}\,t + \frac{C'}{\rho^2}.
Ou seja, a espessura também obedece a uma lei parabólica do tipo \,x^2 \propto t.

Passo 6

Comentário físico e interpretação: a forma \,m^2 \propto t\, é chamada de lei parabólica de oxidação. Fisicamente ela aparece quando o transporte de espécies (átomos de oxigênio, íons metálicos) através da camada de óxido é o passo limitante: à medida que a camada cresce, a resistência ao transporte aumenta e a taxa diminui, resultando em crescimento como raiz quadrada do tempo. Na prática, experimentalmente verifica‑se a lei parabólica traçando m^2 contra t: se der uma reta, o processo é controlado por difusão e a constante da reta é k_p.

Passo 7

Perfil gráfico — como representar: existem duas maneiras úteis de desenhar:
  • Gráfico de \,m versus t: use a curva
m(t)=\sqrt{k_p t + m_0^2}.
Essa curva cresce mais rápido no início e vai “aplainando” com o tempo (é uma raiz quadrada: concavidade para baixo). Matemática rápida: m'(t)=\dfrac{k_p}{2m(t)} e m''(t)=-\dfrac{k_p}{4\,m(t)^3}<0, portanto a taxa instantânea decresce com t.
  • Gráfico de \,m^2 versus t: use a reta
m^2(t)=k_p t + m_0^2,
ou seja, uma linha com inclinação \,k_p. Esse é o teste experimental clássico.
Exemplo numérico curto (para fixar): escolha \,k_p=4 (unidades arbitrárias) e m_0=0. Então m(t)=\sqrt{4t}=2\sqrt{t}. Valores:
t=0\Rightarrow m=0;\quad t=1\Rightarrow m=2;\quad t=4\Rightarrow m=4;\quad t=9\Rightarrow m=6.
No gráfico de m vs t esses pontos mostram a típica raiz quadrada. No gráfico de m^2 vs t teremos (t,m^2)=(0,0),(1,4),(4,16),(9,36) que caem sobre a reta m^2=4t.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (passo a passo que você pode escrever em poucas linhas):
  1. Traduzir "taxa inversamente proporcional a m" para \dfrac{dm}{dt}=\dfrac{k}{m}.
  2. Separar e integrar: m\,dm=k\,dt \Rightarrow \tfrac{1}{2}m^2 = k t + C.
  3. Rearranjar para a forma padrão: m^2=k_p t + C' e aplicar condição inicial.
  4. Para verificar experimentalmente, plotar m^2 vs t: se for reta, lei parabólica confirmada.
    Vai ficar tudo bem — a ideia central é: crescimento controlado por difusão → m\propto\sqrt{t} e m^2\propto t.

Resposta

m^2 = k_p\,t + m_0^2 (constante parabólica k_p>0; m_0=m(0)).\nGráfico: m versus t é uma curva de raiz quadrada m=\sqrt{k_p t + m_0^2} (cresce e se aplaina); m^2 versus t é uma reta de inclinação k_p.

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