1^{\circ} ) Determine as integrais indefinidas .
\int\left(x^{2}+x\right) \cdot(3 x+1) d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral indefinida \displaystyle \int\bigl(x^2+x\bigr)\,(3x+1)\,dx.
O conteúdo envolve integração de polinômios, e vamos usar a propriedade distributiva para expandir o integrando e depois aplicar a regra de potência.

Passo 2

Aplicando a propriedade distributiva:
(x^2+x)\,(3x+1) = x^2\cdot3x + x^2\cdot1 + x\cdot3x + x\cdot1 = 3x^3 + x^2 + 3x^2 + x = 3x^3 + 4x^2 + x.

Passo 3

Reescrevendo a integral com o polinômio expandido:
\int(3x^3 + 4x^2 + x)\,dx = 3\int x^3\,dx + 4\int x^2\,dx + \int x\,dx.
Pela regra de potência \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}, temos
3\cdot\frac{x^4}{4} + 4\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C.

Passo 4

Simplificando os coeficientes:
\frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C.

Resposta

\frac{3}{4}x^4 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C

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